《微分几何》课程教学课件（讲稿）第1章 空间曲线 1.2 曲线的概念 1.2 曲线的概念

《微分九何》 第2章曲线论 §1曲线的概念 §2曲线的曲率和Frenet标架 §3曲线的挠率和Frenet公式 §4曲线在一点邻近的结构 §5曲线论的基本定理 §6一般螺线 第2章 曲线论 第1页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 第 1 页 第 2 章 曲线论 § 1 曲线的概念 § 2 曲线的曲率和Frenet标架 § 3 曲线的挠率和Frenet公式 § 4 曲线在一点邻近的结构 § 6 一般螺线 § 5 曲线论的基本定理

《微分几何》 §1曲线的概念 1.参数曲线 2.光滑曲线曲线的正常点 3.曲线的切线与法面 4.曲线的弧长 第2章曲线论 51曲线的概念 第2页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 2 页 1．参数曲线 2．光滑曲线 曲线的正常点 4. 曲线的弧长 § 1 曲线的概念 3. 曲线的切线与法面

《微分几何》 1参数曲线 下面建立简单曲线的概念 简单曲线：开的直线段在3中的同胚像。 (双方连续的一一映射称为拓扑映射或同胚) 例如开的直线段到开圆弧，这种映射是双方连续的一一映 射，因此开圆弧是简单曲线 第2章 曲线论 51曲线的概念 第3页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 3 页 下面建立简单曲线的概念. 例如开的直线段到开圆弧，这种映射是双方连续的一一映 射，因此开圆弧是简单曲线. 1 参数曲线 简单曲线：开的直线段在E3中的同胚像. （双方连续的一 一映射称为拓扑映射或同胚）

《微分几何》 又如在一张长方形的纸上画一条斜的直线，然后卷成圆柱 面，则直线称为圆柱螺线，所以圆柱螺线是简单曲线： 第2章曲线论 51曲线的概念 第4页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 4 页 又如在一张长方形的纸上画一条斜的直线，然后卷成圆柱 面，则直线称为圆柱螺线，所以圆柱螺线是简单曲线

《微分几何》 我们以后研究的曲线都为简单曲线段，不另作申明. 曲线的参数化 在直线段上引入坐标(a<<b),在空间引入笛卡尔直角坐标 (x,z),则上述映射的解析表达式是 x=f(t) y=8(t) a<t<b (1.5) z=h(t) 第2章曲线论 51曲线的概念 第5页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 5 页         ( ) ( ) ( ) z h t y g t x f t 我们以后研究的曲线都为简单曲线段，不另作申明. 曲线的参数化 在直线段上引入坐标t(a<t<b)，在空间引入笛卡尔直角坐标 （x,y,z),则上述映射的解析表达式是 a<t<b （1.5）

《微分几何》 习惯上把（1.5)中的函数关系符号f8,h分别写成x,yz, (1.5)可写成 x=x(t) y=y(t) a<t<b (1.6) z=z(t) (1.6)称为曲线的参数表示或参数方程，t为曲线的参数 第2章曲线论 S1曲线的概念 第6页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 6 页         ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 习惯上把（1.5）中的函数关系符号f,g,h分别写成x,y,z， (1.5)可写成 a<t<b (1.6) (1.6)称为曲线的参数表示或参数方程，t为曲线的参数

《微分几何》 例如，已经知道开圆弧是直线段的象，取开直线段为(0,2π)， 则在Ox平面上，开圆弧的参数方程为 [x=acost, 0<t<2π. y=asint, 其中a为圆的半径 在Oxz空间中，开圆弧的参数方程为 x=acost, y=asint,0<t<2π. z=0, 第2章 曲线论 51曲线的概念 第7页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 7 页 cos , 0 2 . sin , x a t t y a t         例如，已经知道开圆弧是直线段的象，取开直线段为(0,2π)， 则在Oxy平面上，开圆弧的参数方程为 其中a为圆的半径. 在Oxyz空间中，开圆弧的参数方程为 cos , sin , 0 2 . 0, x a t y a t t z           

《微分几何》 圆柱螺线的参数方程为 x=acost, y=asint,-oo<t<+oo. z=bt, 将曲线的参数方程改写成向量函数的形式： r=r(t),a<t<b 称为曲线的向量参数表示 x=x(t) 分量形式的参数方程 y=(t),t∈(a,b). z=2(t) 第2章曲线论 51曲线的概念 第8页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 8 页 cos , sin , t . , x a t y a t z bt             圆柱螺线的参数方程为 将曲线的参数方程改写成向量函数的形式: r r  ( ), . t a < t < b 称为曲线的向量参数表示. x  x(t) y  y(t) z  z(t) 分量形式的参数方程 , t(a, b) ．

《微分九何》 例如圆（挖掉（α，0）点)的向量参数表达式是 r=facost,asint,O<t<2n. x=acost, ly=asint, 0<t<2π 圆柱螺线的向量参数表达式是 r=facost,asint,bt, -∞<t<+∞ x=acost, y=asint,-oo<t<+co. z=bt, 第2章 曲线论 51曲线的概念 第9页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 9 页 例如圆（挖掉（a,0）点）的向量参数表达式是 r  { cos sin } 0 2 a t,a t , < t < π. cos , 0 2 . sin , x = a t t y = a t       圆柱螺线的向量参数表达式是 cos , sin , . x = a t y = a t t z = bt,          r      { cos , sin }, a t a t,bt t

《微分几何》 2光滑曲线 曲线的正常点 给定x(t),y(t),z()∈C(a,b),则{x(t),y(t),z(t)∈E3t∈(a,b)} 称为E3中的一条Ck类曲线 连续曲线：C类曲线 光滑曲线：C类曲线。 不声明时在局部总考虑C3类参数曲线，并简称为曲线. 第2章曲线论 51曲线的概念 第10页

《微分几何》 第 2 章 曲线论 §1 曲线的概念 第 10 页 2 光滑曲线 曲线的正常点 给定 x(t), y(t), z(t)Ck ((a,b))， 则 {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条Ck 类曲线 连续曲线： C0 类曲线 光滑曲线： C1 类曲线． 不声明时在局部总考虑 C3 类参数曲线，并简称为曲线．