《微分几何》课程教学课件（讲稿）第1章 空间曲线 1.1 向量函数 1.1.2 向量函数 两个重要命题

《微分九何》 第1章 向量函数 §1曲面向量函数的微积分简介 §2向量函数的两个常用命题 第1章向量函数 第1页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 第 1 页 § 1 曲面向量函数的微积分简介 § 2 向量函数的两个常用命题 第 1 章 向量函数

《微分几何》 设一元向量函数r=()可微 命题1向量函数()具有固定长的充要条件是对于的每一 个值，r'(t)都与r(t)垂直 证由向量函数()具有固定长，有 r2(t)=r(t)=const. 上式两边对求导数，得 2r(t)r'(t)=0, 由此得到 r(t)⊥r'(t) 第1章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第2页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 2 页 命题１ 向量函数 r(t) 具有固定长的充要条件是对于t的每一 个值, 设一元向量函数r = r(t) 可微. r r ( ) ( ) . t t 都与 垂直 证 由向量函数 r(t) 具有固定长, 有 2 2 r r ( ) ( ) const t t = = . 上式两边对t求导数, 得 2 ( ) ( ) 0, r r t t    由此得到 r r ( ) ( ). t t  

《微分几何》 命题1向量函数(t)具有固定长的充要条件是对于的每一 个值，r'(t)与r(t)垂直 反之，由r(t)⊥'(t)可得 r(t)r'(t)=0, 则有 (0. dt 因而得到 r2(t)=const, 即向量函数代)具有固定长. 第1章向量函数 2向量函数的两个常用命题 第3页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 3 页 命题１ 向量函数 r(t) 具有固定长的充要条件是对于t的每一 r r ( ) ( ) . t t 都与 垂直 即向量函数 r(t) 具有固定长. d 2 ( ) 0 d t t r = . 则有 r r ( ) ( ) 0, t t    因而得到 反之，由r r ( ) ( ) t t   可得 2 r ( ) const t = , 个值

《微分几何》 当r()为单位向量函数时， r'(t)=lim r(t+△t)-r(t) (t) 所以 △t ro-m r(t+△t)-r(t) △t r(t+△t) lim r(t+△t)-r(t) △t→0 △t 2sin △P lim 2 lim △ 第章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第4页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 4 页 当r t( )为单位向量函数时, r(t) r (t t) 0 2sin 2 lim t t       0 lim . t t        0 ( ) ( ) ( )= lim t t t t t t       r + r r ， 0 ( ) ( ) ( ) = lim t t t t t t       r + r r 所以 0 ( ) ( ) = lim t t t t t      r + r

《微分几何》 命题2设单位向量函数()，记(t)到r(t+)的夹角为△p, 则有 m-l. 注单位向量函数()关于的旋转速度等于其导数的模 第1章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第5页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 5 页 命题 2 设单位向量函数 r(t)，记r(t)到r(t+t)的夹角为 , 注 单位向量函数 r(t)关于t的旋转速度等于其导数的模. 0 lim ( ) . t t t        r 则有

《微分几何》 例1向量函数()具有固定方向的充要条件是 r(t)×r'(t)=0. 证对于向量函数r(t),设其单位向量函数为(t), 则有 r(t)=几(t)e(t) 若向量函数()具有固定方向，则 r(t)=元(t)e, 那么 r'(t)=λ'(t)e, 第1章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第6页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 6 页 例1 向量函数r(t) 具有固定方向的充要条件是 证 对于向量函数r(t)， r r ( ) ( )= . t t   0 设其单位向量函数为e(t), 则有 r e ( )= ( ) ( ). t t t  若向量函数r(t) 具有固定方向，则 r e ( )= ( ) t t  ， 那么 r e   ( )= ( ) t t 

《微分几何》 例1向量函数()具有固定方向的充要条件是 r(t)×r'(t)=0. 证 r(t)=入(t)e, r'(t)='(t)e, 所以 r(t)×r'(t) =(t)入'(t)e×e =0 第1章向量函数 2向量函数的两个常用命题 第7页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 7 页 例1 向量函数r(t) 具有固定方向的充要条件是 证 r r ( ) ( )= . t t   0 r e ( )= ( ) t t  ， 所以 r e   ( )= ( ) t t  ， r r ( ) ( ) t t   = ( ) ( )  t t  e e  = . 0

《微分九何》 例1向量函数()具有固定方向的充要条件是 r(t)×r'(t)=0. 证 反之，若向量函数()满足 r(t)×r'(t)=0 对 r(t)=兄(t)e(t) 求导，得 r'(t)='(t)e(t)+(t)e'(t) 第1章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第8页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 8 页 例1 向量函数r(t) 具有固定方向的充要条件是 证 r r ( ) ( )= . t t   0 对 反之，若向量函数r(t) 满足 r r ( ) ( )= . t t   0 r e ( )= ( ) ( ) t t t  求导，得 r e e    ( )= ( ) ( )+ ( ) ( ). t t t t t  

《微分几何》 例1向量函数()具有固定方向的充要条件是 r(t)×r'(t)=0. 证 r'(t)='(t)e(t)+(t)e'(t) 所以 r(t)xr'(t)=(t)e(t)×('(t)e(t)+入(t)e'(t)) =λ2(t)e(t)×e'(t), 由条件可得 e(t)×e'(t)=0. 第1章向量函数 2向量函数的两个常用命题 第9页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 9 页 例1 向量函数r(t) 具有固定方向的充要条件是 证 r r ( ) ( )= . t t   0 所以 r r e e e ( ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) t t t t t t t t           由条件可得 r e e    ( )= ( ) ( )+ ( ) ( ). t t t t t   2 = ( ) ( ) ( )  t t t e e   ， e e ( ) ( )= . t t   0

《微分几何》 例1向量函数()具有固定方向的充要条件是 r(t)×r'(t)=0. 证 e(t)×e'(t)=0. 故e'(t)川e(t),又因单位向量e'(t)⊥e(t),所以 e'(t)=0,即e是单位向量，从而)具有固定方向. 第章向量函数 52向量函数的两个常用命题 第10页

《微分几何》 第 1 章 向量函数 §2 向量函数的两个常用命题 第 10 页 例1 向量函数r(t) 具有固定方向的充要条件是 证 r r ( ) ( )= . t t   0 e e ( ) ( )= . t t   0 故 e e ( ) ( ) t t ， 又因单位向量 e e ( ) ( ) t t  ， 所以 e( )=t 0， 即 e 是单位向量，从而 r(t) 具有固定方向