广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件

复交函数论 辅导课程三 王饼教师;李伟励

辅导课程三

第二章解析函数 MM限 NHANEASMATNN会M数 NHAN EAAMRTNALE 第一节解析函数与 Cauchy-Riemann 条件 第二节初等解析函数 第三节初等多值函数

第二章 解析函数 • 第一节 解析函数与Cauchy-Riemann 条件 • 第二节 初等解析函数 • 第三节 初等多值函数

第一节解析函数的概念与柯一黎曼条件 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义,形式上和数学分 析中实函数的导数定义一致

第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件 • 1 复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义，形式上和数学分 析中实函数的导数定义一致

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义1设函数O=f(在点z的某邻 域内有定义,考虑比值 △Of(-)-f(=0)f(=+△)-f(=0) 若当z→0(或△z→0)时,上 面比值的极限存在,则称此极限为函数 f(z)在点二0的导数,记为f(=0)

• 定义1 设函数 在点 的某邻 域内有定义，考虑比值 若当 （或 ）时，上 面比值的极限存在，则称此极限为函数 在点 的导数，记为  = f (z) 0 z z f z z f z z z f z f z z  +  − = − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0  0 z → z0 z →0 f (z) 0 z ( ) 0 f  z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 即 f(a0)=(zo+△z)-f(zo) △z->0 此时称f(=)在点2可导

即 此时称 在点 可导。 z f z z f z f z z  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f (z) 0 z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 注意:上面极限存在要求与A>0的方 式无关,而意味着从四面八方趋于零,这 与实函数情形时x→0只有左右两个方 向是不同的 类似实函数的微分定义,我们f(z)Az称 为=f()在点z的微分 da=f(zdz

• 注意：上面极限存在要求与 的方 式无关，而意味着从四面八方趋于零，这 与实函数情形时 只有左右两个方 向是不同的 • 类似实函数的微分定义，我们 称 为 在点 的微分 z →0 x →0 f (z)z  = f (z) z d = f (z)dz

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 下面是一个处处连续但处处不可微的例 子 例2.1f(z)=2在z平面上处处不可 微

下面是一个处处连续但处处不可微的例 子。 例2．１ 在 平面上处处不可 微 f (z) = z z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证因 △fz+△z-z△z \Z △z 当Az→0时,上式极限不存在

• 证 因 当  z → 0时，上式极限不存在。  = +  − =  zz z z z z zf

2解析函数 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义2.2若函数()在区域D 内可导,则称f(z)为区域D内的 解析函数

２解析函数 • 定义２.2 若函数 在区域 内可导，则称 为区域 内的 解析函数 f (z) f (z) D D

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 称函数f(z)在某点解析,指 在该点的某一邻域内解析 称函数f(z)在闭域D上解析,指 在包含f(z)的某区域内解析D 定义2.3若f(z)在点Z0不解析,但 在20的任一邻域内总有f(z)的解 析点,则称20为f(z)的奇点

• 称函数 在某点解析，指 在该点的某一邻域内解析 • 称函数 在闭域 上解析，指 在包含 的某区域内解析 • 定义２.3 若 在点 不解析，但 在 的任一邻域内总有 的解 析点，则称 为 的奇点． f (z) f (z) f (z) D D 0 f (z) z 0 z 0 z f (z) f (z)