广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）解析函数与调和函数的关系

复交函数论 辅导课程八 王饼教师;李伟励

辅导课程八

N 第四节解析函数与调和函数的关系 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 问题: 如何选择LL与V才能使函数l+v 在区域D内解析

第四节 解析函数与调和函数的关系 • 问题： 如何选择 与 才能使函数 在区域D内解析。 u v u + iv

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 分析: 设f(z)=l+v在区域D内解析, u Ov 得 ax a O-1 故有 Oyo ax Oxy 同理ax2y2 0 02a2y 0 ax a

• 分析： 设 在区域 内解析， 得 故有 同理 f (z) = u + iv D y v x u   =   x v y u   = −   x y v x u    =   2 2 2 y x v y u    = −   2 2 2 0 2 2 2 2 =   +   y u x u 0 2 2 2 2 =   +   y v x v

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 即在D内满足拉普拉斯( Laplace)方 程 ∧=0.△v=0 2 02a 这里 D Ox 是一种运算记号,称为拉普拉斯算子

• 即在 内满足拉普拉斯（Laplace）方 程： 这里 是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。 D u = 0,v = 0 2 2 2 2 x y  +    

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义35如果二元实函数H(x,y) 在区域D内有二阶连续偏导数,且满足 拉普拉斯方程 △H=0 则称H(x,y)为区域D内的调和函数

• 定义3·5 如果二元实函数 在区域 内有二阶连续偏导数，且满足 拉普拉斯方程 则称 H(x, y) 为区域 D 内的调和函数。 H = 0 H(x, y) D

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理319若 f(z=u(x, y)+iv(x, y) 在区域D内解析,则u(x,y)w(x,y) 必为(共轭)调和函数

• 定理3·19 若 在区域 内解析，则 必为（共轭）调和函数。 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) D u(x, y) v(x, y)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理320设(x,y)是在单连通区域D 内的调和函数,则存在由下式 x,y) d v(,y) dx dv+ (x,y0) 所确定的函数v(x,y),使l+i=f(z) 是D内的解析函数

定理3·20 设 是在单连通区域 内的调和函数，则存在由下式 所确定的函数 ，使 是 内的解析函数。 u(x, y) D v(x, y) u + iv = f (z) D  +   +   = − ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) x y x y dy c x u dx y u v x y

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例314验证(x,y)=x-3xy 是z平面上的调和函数,并求以(x,y) 为实部的解析函数f(z),使合 f(0)=i

• 例3·14 验证 是 平面上的调和函数，并求以 为实部的解析函数 ，使合 3 2 u(x, y) = x − 3x y z u(x, y) f (z) f (0) = i

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 解因在平面上任一点z =3x2-3y2,l2,=-6x 6x,L.=-6x 故(x,y)在z平面上为调和函数

• 解 因在平面上任一点 故 在 z 平面上为调和函数。 u x u x u x y u x y xx yy x y 6 , 6 3 3 , 6 , 2 2 = = − = − = − u(x, y) z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 先由C·-R·条件中的一个得 Yy =ur=3x-3v2 故 v=3x'y-y+o(x) 再由 C·-R 条件中的另一个得 Vr=6xy+o(x) 6x 故q(x)=0,即@(x)=C 因此vx,y)=3x2y-y3+C

• 先由 条件中的一个得 故 再由 条件中的另一个得 • 故 • 因此 C−R 2 2 v u 3x 3y y = x = − 3 ( ) 2 3 v = x y − y + x C−R v x y x u x y x = 6 +( ) = − y = 6 (x) = 0,即(x) = C, v x y = x y − y +C 2 3 ( , ) 3