广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）柯西积分定理

复交函数论 辅导课程六 王饼教师;李伟励

辅导课程六

第二节柯西积分定理 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1825年柯西( Cauchy)给出了如下的定 理,说明单连通区域内的解析函数的复 积分与路径无关。它是复变函数的核心 定理,常称为柯西积分定理:

第二节 柯西积分定理 • 1825年柯西（Cauchy）给出了如下的定 理，说明单连通区域内的解析函数的复 积分与路径无关。它是复变函数的核心 定理，常称为柯西积分定理：

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理33设f(2)在z平面上的单连通 区域D内解析,C为D内任一条 围线,则 f(zdz =o

• 定理3·3 设 在 平面上的单连通 区域 内解析， 为 内任一条 围线，则 f (z) z D C D  = c f (z)dz 0

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 推论34设f(z)在2平面上的单连通区 域内D解析,C为D内任一闭曲线 (不必是简单的),则 「f(=)lz=0 证因为C总可以看成区域内有限多条 围线衔接而成,再由复积分的基本性质 (3)及柯西积分定理33即得

• 推论3·4 设 在 平面上的单连通区 域内 解析， 为 内任一闭曲线 （不必是简单的），则 • 证 因为 总可以看成区域内有限多条 围线衔接而成，再由复积分的基本性质 （3）及柯西积分定理3·3即得。 f (z) z D C  = c f (z)dz 0 C D

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 推论35设f(z)在2平面上的单连通区 域D内解析,则f()在D内积分与 路径无关。即对D内任意两点20与21积 分之值 f(zdk 不依赖于D内连接起点20与终点的曲线

• 推论3·5 设 在 平面上的单连通区 域 内解析，则 在 内积分与 路径无关。即对 内任意两点 与 积 分之值 不依赖于 内连接起点 与终点 的曲线。 f (z) z D f (z) D D 0 z 1 z  1 0 ( ) z z f z dz D 0 z 1 z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证设C1和C2是D内连接起点 0与终点21的任意两条曲线,则正方向 曲线C1与负方向曲线C2就衔接成 伪的一条闭曲线C。于是 0=Jf()=Jf()b+∫f()d 因而 f(z)dz= f(z)dz

• 证 设 和 是 内连接起点 与终点 的任意两条曲线，则正方向 曲线 与负方向曲线 就衔接成 内的一条闭曲线C。于是 因而 C1 C2 D 0 z 1 z C1 C2 D    = = + 1 2 0 ( ) ( ) ( ) c c c f z dz f z dz f z dz   = 1 2 ( ) ( ) c c f z dz f z dz

2不定积分 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 与数学分析类似,可引进不定积分的概 念,而不定积分是与变上限积分 F(z) fcpd 密切相关的。不同的是对复函数情形, 积分可能与路径有关,从而变上限积分 可能不是单值函数。而若∫()单连通 区域内解析,则变上限积分是唯一确定 的,F(z)是单值函数

2 不定积分 • 与数学分析类似，可引进不定积分的概 念，而不定积分是与变上限积分 密切相关的。不同的是对复函数情形， 积分可能与路径有关，从而变上限积分 可能不是单值函数。而若 在单连通 区域内解析，则变上限积分是唯一确定 的， 是单值函数。  = z z F z f d 0 ( ) ()  f (z) F(z)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理36设f(z)在单连通区域D内 解析,则变上限积分F(z)在D内亦 解析,且 F'(z)=f(z)

• 定理3·6 设 在单连通区域 内 解析，则变上限积分 在 内亦 解析，且 f (z) D F(z) D F(z) = f (z)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证任取∈D。以2为心作一个 含于D内的小圆,考虑小圆的任意 点z+△z,及 F(z+△z)-F(z) △z z+△z f()d4-f()d △z

• 证 任取 。以 为心作一个 含于 内的小圆，考虑小圆的任意 点 ，及 z  D z D z + z [ ( ) ( ) ] 1 ( ) ( ) 0 0       + −  =  +  − z z z z z f d f d z z F z z F z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 当△→>0时的极限。由于积分与路径无 关,则有 F(z+△z)-F(z)1r+A f(sds △z △zJ=0

当 时的极限。由于积分与路径无 关，则有 z →0  +  =  +  − z z z f d z z F z z F z 0 ( ) ( ) ( ) 1  