广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 残数理论及其应用

复变画、数 第六章残数理论及其应用 基本概念 残数的定义 Res f(z f(z)dz 二=a≠ Rsf(-)=f()=ce1(:|=p>r)② 注意前提—仅在孤立奇点处,并且区分 有限点和无穷远点,因此,残数的计算也区分 有限点和无穷远点

一、基本概念 残数的定义 第六 章 残数理论及其应用 1 ( ) ( ) z a z a Res f z f z dz c  − =  − = = =  ( ) ( ) : 1 ( ) z Res f z f z dz c z r − −  =   = = −  =   ① ② 注意前提——仅在孤立奇点处，并且区分 有限点和无穷远点，因此，残数的计算也区分 有限点和无穷远点

0复变函数 求残数的方法 (一)、在孤立奇点为有限点时 1、若a为可去奇点,则残数为0; 2、若a为本性奇点,或者a的类型不明确,则残数为 函数的罗朗展式中za的-1次幂项系数①(般方法); 3、若a为极点,先求极点的级数: 若为一级极点,则 Resf(z=lim(z-a)f(z) f(x)=0(2) 1)0(a)≠0,v(a)=0,v(a)≠0 →Ref(-=a 2=a y(a)

二、求残数的方法 （一）、在孤立奇点为有限点时 1、若a为可去奇点，则残数为0； 2、若a为本性奇点，或者a的类型不明确，则残数为 函数的罗朗展式中z-a的-1次幂项系数①(一般方法)； 3、若a为极点，先求极点的级数： 若为一级极点，则 1 ( ) lim( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) o z a z a o z a Res f z z a f z z f z a a a z a Res f z a        = → = = − =  =    = 

复变函数 若为二级极点,则;Resf()=lim(x-a)2f(z) 2=a 2→a 若为n>2级极点,则 L(2-a)'f() (n-1) Res f(z) 2=a 1一 (这个公式涉及高阶导数公式,并不常用,而 更常用一般方法,即①)。 例求下列函数在指定点的残数(其中m为正整数) (1)f(=)= ±1 (二-1)(z+1) 23

若为二级极点，则； 2 ( ) lim ( ) ( ) z a z a Res f z z a f z = →  = −     若为n>2级极点，则 （这个公式涉及高阶导数公式，并不常用，而 更常用一般方法，即①）。 1 ( 1) ( ) lim ( ) ( ) ( 1)! n n z a z a Res f z z a f z n − = → = −     − 例 求下列函数在指定点的残数(其中m为正整数)： 2 (1) ( ) , 1 ( 1)( 1) z f z z z z = =  − +

复变函数 Res f(=)=lim[(z-1f(=I 4 Res()=m[(=+1)(2) 4 (2)f(z)=e2-,z=1 f(=)=1+++…=1+ 12 z-12(z-1) →Resf(=)=1

  1 1 2 1 1 1 ( ) lim ( 1) ( ) 4 1 ( ) lim ( 1) ( ) 4 z z z z Res f z z f z Res f z z f z = → = − → − = − =  = + = −     1 1 (2) ( ) , 1 z f z e z − = = 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 2! 1 2!( 1) ( ) 1 z u u f z z z Res f z = = + + + = + + + − −  =

0复变函数 (3)f()=z"sin-,z=0 z=0为本性奇点,用一般方法 0 m=2k+1 Resf(2)=1(-1y m=2k (2/+1 (4) z=a,2=b(a≠b) (z-a)"(z-b)

1 (3) ( ) sin , 0 m f z z z z = = z=0为本性奇点，用一般方法 0 0, 2 1 ( ) ( 1) , 2 (2 1)! k z m k Res f z m k k =  = +  =  − =   + 1 (4) , , ( ) ( ) ( ) m z a z b a b z a z b = =  − −

复变函数 分析:za是f(z)的m级极点,由于m可能大于2,故 用一般方法。 (z-a)"(z-b)(-a)-a+a-b 2-c (a-b)1+ a-b (z-a)"(a-b) ∑(-1 b ∑(-1) n-m 2-C n=0 (a-b)

分析：z=a是f(z)的m级极点，由于m可能大于2，故 用一般方法。 0 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) m m m n n m n n n m n n z a z b z a z a a b z a z a a b a b z a z a a b a b z a a b  =  − + = =  − − − − + − =  −   − − +     −   − =  −   − − −   = − − −  

复变函数 n-m=-1→n=m+1,n+1=m → Res f(z)= (-1) Z=a (a-b)”(b-a) Res f(z) Z=b (b-a) (二)在无穷远点时 1、当无穷远点为f(z)的至少二级零点时,残数为0; 2. Res f(z)=-Res f t=0

1 1 1, 1 ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) m m m Z a m Z b n m n m n m Res f z a b b a Res f z b a − = = − = −  = + + = − −  = = − − = − （二）在无穷远点时 1、当无穷远点为f(z)的至少二级零点时，残数为0； 2 0 1 1 2. Re ( ) Re z t s f z s f t t = =   = −    

复变函数 3、一般方法②,即求函数在无穷远点的罗朗展式 的z的-1次幂项的系数的相反数。 例求下列函数在指定点处的残数(其中m为正整数) (1)f(z)= 2-1(2+1)2,2=0 1+ →ReSf(z)=0

3、一般方法②，即求函数在无穷远点的罗朗展式 的z的-1次幂项的系数的相反数。 例 求下列函数在指定点处的残数(其中m为正整数) 2 (1) ( ) , ( 1)( 1) z f z z z z = =  − + 3 2 1 ( ) 1 1 1 1 Re ( ) 0 z z f z z z z s f z =  =        − +     =

复变函数1 2)=e2-,z=0 由于无穷远点为可去奇点时,残数未必为0,但是此 时求(z)在无穷远点处的罗朗展式并不好求,因此不 好用一般方法②;若用替换的方法,将求无穷远点处 的残数转化为求z=0处的残数,同样不好求,考虑别 的方法,待求 (3)f(z)=z"sin-,z=0 待求 (4) (b…(-b)=o(a≠b)

1 1 (2) ( ) , z f z e z − = =  由于无穷远点为可去奇点时，残数未必为0，但是此 时求f(z)在无穷远点处的罗朗展式并不好求，因此不 好用一般方法②；若用替换的方法，将求无穷远点处 的残数转化为求z=0处的残数，同样不好求，考虑别 的方法，待求。 1 (3) ( ) sin , m f z z z z = =  待求 1 (4) , ( ) ( ) ( ) m z a b z a z b =   − −

复变函数 f(=)= b →Resf(z)=0 (三)残数和定理 若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包 括无穷远点在内),则函数在各点的残数总和为零。 例(2)f(z)=e 2三0 f(z)仅有z=1及无穷远点两个孤立奇点,相对而言, z=1处的残数较无穷远点处的残数好求,故

1 1 1 ( ) 1 1 Re ( ) 0 m m z f z z a b z z s f z + =  =          − −      = （三）残数和定理 若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包 括无穷远点在内)，则函数在各点的残数总和为零。 例 （2） 1 1 ( ) , z f z e z − = =  f(z)仅有z=1及无穷远点两个孤立奇点，相对而言， z=1处的残数较无穷远点处的残数好求，故