广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 残数理论 §2 用残数计算实积分

复交函数论 辅导课程十七 王饼教师;李伟励

辅导课程十七

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE §2用残数计算实积分 1计算 I RcoS sin 0)d0 0

• §2 用残数计算实积分 • １ 计算  =     2 0 I R(cos ,sin )d

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE °方法:令 0则 z+Z Z-Z az cos 6 SIn 6 2a 积分化为 Z+Z dz RO 2

• 方法：令 则 积分化为 i z = e iz dz d i z z z z = − = + = − −   ,  2 ,sin 2 cos 1 1 iz dz i z z z z I R z ) 2 , 2 ( 1 1 1  = − − + − =

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例67计算 2丌 0 1-2p 6+ p (0≤D<1)

• 例 6 . 7 计算  − + =   2  0 2 1 2 p cos p d I ( 0  p  1 )

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 解:令z=e 则d= dz 当p≠0时 1-2 p cos b+p 1-D(z+z)+ (z-p)(1-pz)

• 解： 令 ， 则 当 时 i  z = e iz dz d  = p  0 z z p pz p p p z z p ( )( 1 ) 1 2 cos 1 ( ) 2 1 2 − − =− + = − + + − 

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 故 dz i=H1(z-p)(1-pz) Rest(z)= 2=p

• 故 2 1 1 1 Re ( ) 1 ( )( 1 ) 1 p s f z i z p pz dz i I z pz − = = − − = = =

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例6.9计算积分 I-rr cos mx 0 5-4cosx

• 例 6 . 9 计算积分  − = 0 5 4cos cos dx x m x I

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE I Pt cos mx 解 I5-4cosx 令 I cosnx dx I 5-4 coSx I5-4c0s x 则 ix 1+i/2 z5-4cos x

• 解： 令 则 − − =   dx x m x I 5 4cos cos 2 1 − − =   dx x mx I 5 4cos cos 1 − − =   dx x m x I 5 4cos sin 2 dx x e I iI imx − − + =   5 4cos 1 2

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 设z x 则 +il i=15z-2(1+z2) z (z-)(z-2)

• 设 z = e ix ， 则  == − − = − + + = 1 1 1 2 2 )( 2 ) 21 ( 2 5 2 ( 1 ) 1 z m z m dz z z i z dz z z z i I iI

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE L,+il,=- 2 i Res f(z=z 3·2m I。=0 3·2 2m3

1 2 1 1 2 3 2 2 Re ( ) 2 − =  + =   = m z i s f z i I iI   , 0 3 2 1 1 2 =  = − I I m  2 3 1 2 1 1  = =  m I I