广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）幂级数

复交函数论 辅导课程十 王饼教师;李伟励

辅导课程十

第一节系级数 MM限 NHANEASMATMALE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1幂级数的敛散性 1具有 ∑cn(z-a)"=co+c(z-a)+c2(二-a2)+ 形式的复函数项级数称为幂级数,其中 0c1 2,…·和 都是复常数

第二节 幂级数 1 幂级数的敛散性 1 具有 形式的复函数项级数称为幂级数，其中 和 都是复常数。  − = + − + − +   = ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 c z a c c z a c z a n n n , , ,  0 1 2 c c c a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 阿贝尔(Abel)定理 定理4.10如果幂级数(4.3)在集 收敛,则它必在圆K:z-a<z1-d (即以a为心,圆周通过 的圆) 内绝对收敛且内闭一致收敛

• 阿贝尔（Abel）定理 定理4 .1 0 如果幂级数（4 .3）在某点 收敛，则它必在圆 （即以 为心，圆周通过 的圆） 内绝对收敛且内闭一致收敛。 ( ) z1  a K : z − a  z1 − a a 1 z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 推论41若幂级数(4.3)在某点 z龙歉)则它在以为心光通过的 园凋外部发散

• 推论4.11 若幂级数（4.3）在某点 发散，则它在以为 心并通过 的 圆周外部发散。 ( ) z2  a a 2 z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 由Abe定理可以证明,存在一个数R, 使得级数在圆周-a=R内部绝对 收敛,在圆周的外部发散。R称为此幂 级数的收敛半径;圆和园周分别称为它 的收敛圆和收敛圆周。意味着收敛圆是 全平面。 收敛园周上的敛散性有如下三种可能 (1)处处发散;(2)既有收敛点,又 有发散点;(3)处处收敛

• 由Abel定理可以证明，存在一个数Ｒ， 使得级数在圆周 内部绝对 收敛，在圆周的外部发散。Ｒ称为此幂 级数的收敛半径；圆和圆周分别称为它 的收敛圆和收敛圆周。意味着收敛圆是 全平面。 • 收敛圆周上的敛散性有如下三种可能： （1）处处发散；（2）既有收敛点，又 有发散点；（3）处处收敛 z − a = R

2收敛半径R的求法 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE lim n+1 lim vc, n→)0 (≠O,!≠+∞) ( (=O)

２收敛半径Ｒ的求法 l c c n n n = + → 1 lim c l n n n = → lim        +  = = +   + = ( 0). 0 ( ); ( 0, ); 1 l l l l l R

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例42试求下列各幂级数的收敛半径 2 2 R解 R=limon+ 1→> m(+

• 例4.2 试求下列各幂级数的收敛半径 （1） R 解   =1 2 n n n z ) 1 1 ( 2 1 lim lim = + = = → → + n n c c R n n n n

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (2) 解因∑方 I=lim n!!!!! n+1 lim (n+1) 0 n→00 故 R=+∞

（2） 解 因 故   =0 ! n n n z 0 ! 1 ( 1)! 1 lim lim 1 = + = = → + → n n c c l n n n n R = +

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (3) 解因 ∑ 0 =lim al =lim(n+D) =+ n→> n→0 故 R=0

（3） 解 因 故   =0 ! n n n z = + + = = → + → ! ( 1)! lim lim 1 n n c c l n n n n R = 0

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (4)1+z+z+z+ 解当n是平方数时,Cn=1 其他情形cn=0。因此,相应有, vln1或0于是数列{ln 的聚点是0和1,从而 l=1.R=1

（4） 解 当ｎ是平方数时， 其他情形 。因此，相应有， 于是数列 的聚点是0和1，从而 + + + +  2 4 9 1 z z z cn =1 cn = 0 n cn =1或0 n n c l = 1, R = 1