广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 罗朗级数 第一节 解析函数的罗朗展式

复交函数论 辅导课程十 王饼教师;李伟励

辅导课程十三

第五章罗朗级数 MM限MMMM会M数 NHAN EAAMRTNALE 第一节解析函数的罗朗展式 1双边幂级数

第五章 罗朗级数 • 第一节 解析函数的罗朗展式 1 双边幂级数

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 形如 Co +Cz-a)+c (z-a)2 n=-00 C C 的级数称为双边幂级数

• 形如 的级数称为双边幂级数 ( ) ( ) ( ) ( )   + − + − + − = + − + − + − −  =−  2 1 2 2 0 1 2 z a c z a c c z a c c z a c z a n n n

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 正则部分是幂级数,故收敛圆 -a<R0≤R≤+∞) 对于主要部分,∑cn(2-a) -n 可作代换

• 正则部分是幂级数，故收敛圆 • 对于主要部分 ， 可作代换 z − a  R (0  R  +)  ( )  = − − − n 1 n c n z a (z − a) = 1 

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 成为一幂级数C19+C-292+ 它的收敛区域为r

• 成为一幂级数 • 它的收敛区域为 C−1  +C−2  2 + r 1   z − a  r

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE °因此当rcn(z-a)

• 因此当 时，两者有公共的收敛 区域即圆环： 。 在此圆环内有 r  R r  z − a  R ( ) ( )  ( )  =− + = − n n f 1 z f 2 z cn z a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理5.1设双边幂级数 n 1=-0 的收敛圆环为 h:r<z-a< r (r≥0,R≤+

• 定理5.1 设双边幂级数 的收敛圆环为  ( )  =− − n n cn z a H :r  z − a  R (r  0,R  +)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 则(1)(51)在内绝对收敛且内 闭一致收敛于f()=f()+f2(=) (2)f(z)在H内解析 (3)级数在H内可逐项求导任意次

• 则（1）（5.1）在 内绝对收敛且内 闭一致收敛于 （2） 在 内解析 （3） 级数在 H 内可逐项求导任意次。 f (z) f (z) f (z) = 1 + 2 f (z) H H

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 2、解析函数的罗朗展式 定理52(罗朗定理)在圆环内解析的函 数必可展开成双边幂函数 其中 2uior( s-a) n+1 且展式唯一(m=0,±1,±2,)

• 2、解析函数的罗朗展式 定理5.2（罗朗定理） 在圆环内解析的函 数必可展开成双边幂函数 其中 且展式唯一 ( ) ( ) ( ， ， ，) 0 1 2 2 1 1 =   − =  + n d a f i cn n    

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义51(52)称为在点的罗朗展式, (53)称为其罗朗系数,而(52)右边 的级数则称为罗朗级数。 注意泰勒级数是罗朗级数的特殊情形

• 定义5.1 （5.2）称为在点的罗朗展式， （5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边 的级数则称为罗朗级数。 • 注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形