广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 幂级数 第四节 零点的孤立性与唯一性原理

复交函数论 辅导课程十二 王饼教师;李伟励

辅导课程十二

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 点的狐鱼世与唯一世原捏 解析函数零点的孤立性

第四节 零点的孤立性与唯一性原理 • 1. 解析函数零点的孤立性

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义47设f(=)在解析区域D 点的值为零,则称为解析函 数f(z) 的零点

• 定义4.7 设 在解析区域 一点 的值为零，则称 为解析函 数 的零点 f (z) D a a f (z)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE C称为f(=)的m级零点。 若 f(a)=f(a)=…=fm(a)=0 f(m(a)≠0

• 称为 的 级零点。 若 a f (z ) m ( ) ( ) ( ) 0 ( 1 ) =  =  = = − f a f a f a m ( ) 0 ( ) f a  m

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理417不恒为零的解析函数 以a为m级零点的充要条件为: f(z)=(z-a)"q(z) 其中q(z)在点C的邻域内解析, 且q(a)≠0

• 定 理 4.17 不 恒 为 零 的 解 析 函 数 以 为 级零点的充要条件为： 其中 在点 的邻域内解析， 且 f (z) a m f (z) (z a) (z) m = −  (z) a (a)  0

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证必要性由假设, (m+1) f(z) (m+1) 只要令 (m+1 C m2+ 即可。充分性是明显的

• 证 必要性 由假设， 只要令 即可。充分性是明显的。 − +  + = − + + + 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) m m m m z a m f a z a m f a f z − +  + = + + ( ) ( 1)! ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( 1) z a m f a m f a z m m 

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例4.7考察函数 f(z=z-sin z 在原点z=0的性质

• 例4.7 考察函数 在原点 的性质。 f (z) = z − sin z z = 0

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 解显然f(z)在z=0解析, 且f(0)=0 z=0为的三级零点,因 f∫"(z)=1-cosz,f'(0)=1-1=0, f"(z)=snz,f"(0)=0, f"(z)=cosz,f"(0)=1≠0 f(=)=2-(二 令× 3!5 3!5!

• 解 显然 在 解析， 且 为的三级零点，因 f ( z ) z = 0 f ( 0 ) = 0 z = 0 ( ) cos , ( 0 ) 1 0. ( ) sin , (0) 0, ( ) 1 cos , (0) 1 1 0,  =  =   =  =  = −  = − = f z z f f z z f f z z f ) 3! 5! 1 ) ( 3! 5! ( ) ( 2 3 3 5 = − − + −  = − +  z z z z f z z z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 如在|-a<R内的解析函数f(z) 不恒为零,CL为其零点,则必有 c的一个邻域,使得f(z)在其中无 异于aL的零点。 (简单说来就是:不恒为零的解析函数的 零点必是孤立的。)

如在 内的解析函数 不恒为零， 为其零点，则必有 的一个邻域，使得 在其中无 异于 的零点。 （简单说来就是：不恒为零的解析函数的 零点必是孤立的。） z − a  R f (z) a a f (z) a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理420(唯一性定理)设 (1)函数f1(z)和()在区域D内解析; (2)D内又有一个收敛∈D的点列{n(zn≠a) 在其上f1()和f2()相等。则f1(z)和f2(=) 在D内恒等

• 定理4.20（唯一性定理）设 ( ) 1 f z ( ) 2 f z D D a D z (z a) n n  ( ) 1 f z ( ) 2 f z ( ) 1 f z ( ) 2 f z （1）函数 和 在区域 D 内解析； （2） 内又有一个收敛于 的点列 ，在其上 和 相等。则 和 在 内恒等