广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 幂级数 第三节 解析函数的泰勒（Taylor）展式

复交函数论 辅导课程十 王饼教师;李伟励

辅导课程十一

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 第三节解析画数 的泰勒( Taylor)晨式 这一节主要研究在圆内解析的函数展开 成幂级数的问题

第三节 解析函数 的泰勒（Taylor）展式 • 这一节主要研究在圆内解析的函数展开 成幂级数的问题

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理414(泰勒定理)设f(z)在区域D 内解析,只要圆K:|-a<R含 于 ,则在内能展成幂级数 其中系数()=∑c1(2-a) f() f("(a) 2r iote(s-a) 且展式是唯一的

• 定理4.14（泰勒定理） 设 在区域 内解析，只要圆 含 于 ,则在 内能展成幂级数 其中系数 且展式是唯一的。 f (z) D K : z − a  R D K   = = − 0 ( ) ( ) n n f z cn z a ! ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 n f a d a f i c n n n = − =  +     

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证证明的关键是利用柯西积分公式及如 下熟知的公式 u ∑(<1 0

• 证 证明的关键是利用柯西积分公式及如 下熟知的公式   = = 1− 0 1 n n u u (u 1)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 综合定理413(1)和定理414可得出刻 划解析函数的第四个等价定理: °定理4.15f(=)在区域D内解析的 充要条件为:f(=)在D内任一 点C的邻域内可展成幂级数,即泰 勤级数

• 综合定理4.13（1）和定理4.14可得出刻 划解析函数的第四个等价定理： • 定理4.15 在区域 内解析的 充要条件为： 在 内任一 点 的邻域内可展成幂级数，即泰 勒级数。 f (z) D f (z) D a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状 况 定理416如果幂级数的收敛半径R>0 且 C(2-a (z∈K:|=-d<R) 0 则在收敛圆周上至少有一奇点。 即不可能有这样的函数F(z)存在,它在 内与4<R恒等,而在z) 上处 处解柳。=R

• 2． 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状 况 • 定理4.16 如果幂级数的收敛半径 且 则在收敛圆周上至少有一奇点。 即不可能有这样的函数 存在，它在 内与 恒等，而在 上处 处解析。 R  0 ( ) ( ) ,( : ) 0 f z c z a z K z a R n n =  n −  −   = C : z − a = R F(z) z − a  R f (z)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 3.一些初等函数的泰勒展式 下面给出几个初等函数的泰勒展式,它 们的形式与数学分析中大家熟知的形式 是一致的。如 2 e=1+z+—++—+ <+O 2n+1 smn2三 ∑ <+ =0(2n+1)! 3(-1)”z2n coS2三 (2n) <+oO

• 3．一些初等函数的泰勒展式 • 下面给出几个初等函数的泰勒展式，它 们的形式与数学分析中大家熟知的形式 是一致的。如 = + + +  + +  2! ! 1 2 n z z e z n z (z  +)   = − = 0 2 (2 )! ( 1) cos n n n n z z  (z  +)  = + + − = 0 2 1 (2 1)! ( 1) sin n n n n z z (z  +)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例4.3将2在z=0 展开成幂级数 e 解因1-z在<1内解析,故展 开后的幂级数在|<1内收敛。已经 知道: e=1+z+++ <+O =1+z+z2+z3+ <

• 例４.３ 将 在 展开成幂级数。 解 因 在 内解析，故展 开后的幂级数在 内收敛。已经 知道： z e z 1− z = 0 z e z 1− z  1 z  1 = + + + +  2! 3! 1 2 3 z z e z z (z  +) = + + + +  − 2 3 1 1 1 z z z z (z 1)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 当z<1时将两式相乘得(按对角 线方法) =1+(1+)z+(1++)z2+

• 当 时将两式相乘得 （ 按对角 线方法 ） z  1 = + + + + + + − 2 ) 2!1 1!1 ) (1 1!1 1 (1 1 z z z e z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例45将esnz及 e cos z 展为的幂级数。 解因 e(cos z+isin z)=eeis=e(tiz-evzet 1丌 =1+√2e4z+ ∑ (√2) 已tz n=2

• 例 4 . 5 将 及 展为的幂级数 。 解 因 e z z e z cos z sin = + = + + + = = = 2 4 4 (1 ) 2 ! ( 2) 1 2 (cos sin ) 4 n n i n n i z z i z i z e z ne z e z e z i z e e e e i   