广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 残数理论 §1 残数

复交函数论 辅导课程十六 王饼教师;李伟励

辅导课程十六

第六章残数理论 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE §1残数 定义61设f(z)以a为孤立奇点,即 在a的去心邻域0<z-a<肭解析, 则称积分 2a7/(ak(G2-a=p0<n<R) 为f()在点C的残数( ( residue)

第六章 残数理论 • §1 残数 定义6.1 设 以 为孤立奇点，即 在 的去心邻域 内解析， 则称积分 为 f (z) 在点 a 的残数（residue） a 0  z − a  R f (z)dz ( z a R) i  − =       0 2 1 ： ， f (z) a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE Resf(2)=,「(zk 2= 2元 Resf(z)=c 2=

( ) Re −1 = s f z = c z a  ( ) =  = f z dz i f z z a 2 1 Res ( )

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理6.1(柯西残数定理)f(z)在围 线或复围线C所范围的区域D内, 除 外解析,在闭域 上除D=D+C 外连续;则 J(-)k=2z∑Resf() k=1 2=

• 定理6.1 （柯西残数定理） 在围 线或复围线 所范围的区域 内， 除 外解析，在闭域 上除 外连续，则 f (z) C D a1 ，a2 ，，an D = D +C a1 ，a2 ，，an ( )  ( )  = = = n k c z a f z dz i s f z k 1 2 Re

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证:作圆周Ik:|2-ak|=p(k=1,2,n) 使全含于D内且两两不相交,则由柯 西积分定理 「f(e)=∑J(zk 2x∑Res/(z) k=1 二=a k

• 证：作圆周 使全含于 内且两两不相交，则由柯 西积分定理 z a (k n) k : − k = k =1，2， D ( ) ( ) i s f (z) f z f z dz k k z a n k n i c = = =     = = 2 Re 1 1 

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 2、残数的求法。 法一:罗朗展式法。即ReSf(z)=c 2=C C-1为罗朗系数。 法二:极点法:

• 2、残数的求法。 • 法一：罗朗展式法。即 为罗朗系数。 • 法二：极点法： ( ) Re −1 = s f z = c z a −1 c

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理62若a为H级极点,则 则 (-ayy(a)≠0 Resf(2-pn-1(a) 2=a 对一、二级极点计算较方便

• 定理6.2 若 为 级极点，则 • 则 • 对一、二级极点计算较方便。 a n ( ) ( ) ( ) n z a z f z − =  (a)  0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! Re 1 − = − = n a s f z n z a 

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE ·定理65若a为f(/=%( 的一级极点,则 Res/()=0 (a)

• 定理6.5 若 为 的一级极点，则 a ( ) ( ) (z) z f z   = ( ) ( ) (a) a s f z z a    = = Re

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例61计算 5z-2 2 )2 ZZ

• 例6.1 计算 ( ) dz z z z I z = − − = 2 2 1 5 2

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 解:f(z) 5z-2 2 在圆周z=2的内部只有一级极点z=0 及二级极点z=1

• 解： 在圆周 的内部只有一级极点 及二级极点 ( ) ( ) 2 1 5 2 − − = z z z f z z = 2 z = 0 z = 1