广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）柯西积分公式及其推论

复交函数论 辅导课程七 王饼教师;李伟励

辅导课程七

第三节柯西积分公式及其推论 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1·柯西积分公式 利用柯西积分定理(复围线形式)导 出一个用边界值表示解析函数内部值的 积分公式

第三节 柯西积分公式及其推论 1·柯西积分公式 利用柯西积分定理（复围线形式）导 出一个用边界值表示解析函数内部值的 积分公式

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理311设区域D的边界是围线(或 复围线)C,f(=)在D内解 析,在D=D+C上连续,则有 f(z 1rf() d(z∈D) 2rui Jc -z

• 定理3·11 设区域 的边界是围线（或 复围线） ， 在 内解 析，在 上连续，则有 C f (z) D D D = D +C ( ) ( ) 2 1 ( ) d z D z f i f z c  − =     

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证任意固定z∈D,F()≈J(z) 作为5的函数在D内除点z外均解析 今作圆周y。,使其内部均含于D 应用定理310得 f() f(2)

• 证 任意固定 作为 的函数在 内除点 外均解析， 今作圆周 ，使其内部均含于 应用定理3·10得 z f z D F −  =    ( ) , ( )  D z   D         d z f d z f c  − = − ( ) ( )

CMA EOAHRTNANEA SMATNMAIE

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 只须证明 m() ds =2r if(z) D-少0

• 只须证明  = →   −     2 ( ) ( ) lim 0 d if z z f

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE f()d-2m/(z) /(5) dc ds -f( /∫f()-f(z)

| ( ) ( ) | ( ) | ( ) | 2 ( )| ( ) |                     d z f f z z d d f z z f d if z z f     − − = − − − = − −

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 根据(7的连续性, 对任给的E>0 存在δ>0,只要|4-z=p<o, 就有 已 1f(4)-f(xz)ka(5∈y) 由定理32知前式不超过 6.2p=8 2Tp 于是证明了(33)。定理得证

• 根据 的连续性， 对任给的 存在 就有 由定理3·2知前式不超过 于是证明了（3·3）。定理得证。 f ( )   0   0，只要| − z|=   , ( ) 2 | ( ) ( ) |      −   e f f z        2 = 2

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例3.8计算积分 d2,c:|2 (9-2);+)

• 例3·8 计算积分 , :| | 2 (9 )( ) 2 = − +       d c i c

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 解:因 在闭圆5≤2上解析,由柯西积分公式 得 Jc(9 2 )(5+i) 9 2,d5=2mn2 9-(-) 9-

• 解：因 在闭圆 上解析 ，由柯西积分公式 得 2 9 ( )    − f = |  | 2 5 | 9 2 9 ( ) 9 ( 9 )( ) 2 2 2             = − = − − − = − +  = −  i c c d i i d i