广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）内容选讲

③复变国数论(0345 复变函数论 直播课程二 主讲教师:手扬荣

直播课程二

复变函数论(09350 客遽侪 ■第二章解析函数 ■第三章复积分

内容选讲 ◼ 第二章 解析函数 ◼ 第三章 复积分

复变函数论(09350 第二章解析画數 ■第一节解析函数与 Cauchy- Rieman 条件 第二节初等解析函数 第三节初等多值函数

第二章 解析函数 ◼ 第一节 解析函数与Cauchy-Riemann 条件 ◼ 第二节 初等解析函数 ◼ 第三节 初等多值函数

2复变函教论(03450 第一节斛析画飘的念与 柯西象曼条件 1.复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义,形式上和数 学分析中实函数的导数定义一致

第一节 解析函数的概念与 柯西-黎曼条件 ◼ 1.复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义，形式上和数 学分析中实函数的导数定义一致

复变函数论(09350 定义1设函数O=f(z)在点z0的某邻域 内有定义,考虑比值 △O_f(z)-f(=0)f(z0+A2)-f(=0) △z 若当z→z(或△z_>0)时,上面比值 的极限存在,则称此极限为函数在点 的导数,记为 f(z)f"(=0)

◼ 定义1 设函数 在点 的某邻域 内有定义，考虑比值 若当 （或 ）时，上面比值 的极限存在，则称此极限为函数 在点 的导数，记为  = f (z) 0 z z f z z f z z z f z f z z  +  − = − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0  0 z → z0 z →0 f (z) 0 z ( ) 0 f  z

2复变函教论(03450 即 f(=0+△)-f(=0) 0)= △z->0 △ 此时称f(=)在点z可导

即 此时称 在点 可导。 z f z z f z f z z  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f (z) 0 z

复变函数论(09350 下面是一个处处连续但处处不可微的例 子 例2.1f(z)=2在z平面上处处不 可微

下面是一个处处连续但处处不可微的例 子。 例2．１ 在 平面上处处不 可微 f (z) = z z

复变函数论(09350 证因 △f z+△ △z △z △z 当Δz→0时,上式极限不存在

◼ 证 因 当  z → 0时，上式极限不存在。  = +  − =  zz z z z z zf

2复变函教论(03450 2、解析菡數 ■定义22若函数f(z)在区域D 内可导,则称f(z)为区域D内的 解析函数

2、解析函数 ◼ 定义２.2 若函数 在区域 内可导，则称 为区域 内的 解析函数 f (z) f (z) D D

复变函数论(09350 称函数f(z)在某点解析,指f(z) 在该点的某一邻域內解析 ■称函数f(z)在闭域D上解析,指 在包含D的某区域内解析 定义23若f(z)在点z0不解析, 但在z的任一邻域内总有f(z)的 解析点,则称20为f(z)的奇点

◼ 称函数 在某点解析，指 在该点的某一邻域内解析 ◼ 称函数 在闭域 上解析，指 在包含 的某区域内解析 ◼ 定义２.3 若 在点 不解析， 但在 的任一邻域内总有 的 解析点，则称 为 的奇点． f (z) f (z) f (z) D D 0 f (z) z 0 z 0 z f (z) f (z)