广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 罗朗级数 5.2 孤立奇点

复交函数论 辅导课程十四 王饼教师;李伟励

辅导课程十四

52孤立奇点 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点

5.2 孤立奇点 • １孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义53设a是f()的孤立奇点, (1)若主要部分为0,则称是 的可去奇点。 (2)若主要部分为有限多项,则歃是 的秩点,此时主要部分的系数必满足 此时≠为极点01级,亦称为 级极点。C 若主要部分有无限多项,则称是 的本性奇点 a f(i)

• 定义5.3 设 是 的孤立奇点， • （ 1 ） 若主要部分为 0 ， 则 称 是 的可去奇点。 • （2）若主要部分为有限多项，则称 是 的极点 ， 此 时 主 要 部 分 的 系 数 必 满 足 此时 称为极点 的级， 亦称为 级极点。 • 若主要部分有无限多项，则称 是 的本性奇点。 a f (z) a f (z) a f (z) c−m  0 c−(m+ p) = 0 p  1 m a a m a f (z)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 2、可去奇点的判断 定理53设a为f(=)的孤立奇点, 则下述等价: (1)f()在a的主要部分为0; (2)lim f(z)=b(≠a∞ 2→a (3)f(z)在点a的某去心邻域内 有界

• 2、可去奇点的判断 • 定理5.3 设 为 的孤立奇点， 则下述等价： • （1） 在 的主要部分为0； • （2） （３） 在点 的某去心邻域内 有界。 f (z) a f (z) a ( ) = ( ) → f z b z a lim a f (z)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证:(1)→(2)由(1)有 C +Cz 0 c)+ 0<z-a< R 因此 ≠ 2→a

• 证： （1） （2）由（1）有 因此  ( ) ( ) ( ) ( z a R) f z c c z a c z a  −  = + − + − + 0 2 0 1 2  ( ) = ( ) → lim f z c0 z a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (2)→(3)即例127 (3)→(1)考虑主要部分的系数 f() 2 a r 其中r:k-4=pP可任意小,故 mn-2兀 ds I M 2p= Mp 2丌P n+ 0 12

• （2） （3）即例1.27 （3） （1）考虑主要部分的系数 其中 可任意小，故   ( ) ( )     d a f i c n  n  − − + − = 1 2 1 :  − a =  ( ) n n n n M M d a f c             = −  − +  −  − + 2 2 1 2 1 1 1  = 0 ( =1，2, ) c−n n

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 极点 定理54若f(z)以点a为孤立 奇点,则下述等价 (1)a是m级极点,即主要部分 为 C C ∴ C≠0

• 极点 • 定理5.4 若 以点 为孤立 奇点，则下述等价 • （1） 是 级极点，即主要部分 为 a m ( ) 0 1  − + + − − − − m m m c z a c z a c  f (z) a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (2)f(z)在点a的去心邻域内有 f(=) A 且(z)解析且x()≠0 (3)g(z) 点 f() 以 为 级零

• （２） 在点 的去心邻域内有 且 解析且 • （３） 以 为 级零 点。 f (z) a ( ) ( ) ( ) m z a z f z − =  (z) (a)  0 ( ) f (z) g z 1 = a m

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理55f)的孤立奇点a为极点的 充分必要条件是 f(e 2)= 2→a

• 定理 5 . 5 的孤立奇点 为极点的 充分必要条件是 f ( z ) a ( ) =  → f z z a lim

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 5、本性奇点 定理56f()的孤立奇点a为本性 奇点的充分必要条件是 b(有限数) ≠

• 5 、本性奇点 • 定理 5 . 6 的孤立奇点 为本性 奇点的充分必要条件是 f ( z ) a ( ) ( )    → b 有限数 f z z a lim