广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 解析函数 第二节 初等解析函数 第三节 初等多值函数

复交函数论 辅导课程四 王饼教师;李伟励

辅导课程四

第二章解析函数 MM限 NHANEASMATNN会M数 NHAN EAAMRTNALE 第二节初等解析函数 第三节初等多值函数

第二章 解析函数 • 第二节 初等解析函数 • 第三节 初等多值函数

初等解析汤数 MM限MMMM会M数 NHAN EAAMRTNALE 1指数函数 定义24对于任何复数z=x+y 规定复指数函数为 e-=ety=e(cos y+isn y)

第二节 初等解析函数 １指数函数 • 定义2.4 对于任何复数 规定复指数函数为 z = x + iy e e e (cos y isin y) z x i y x = = + +

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 复指数函数e有下列性质: (1)它是实指数函数的自然推广 (2)|e|=e>0,arg (3)在平面上处处解析,且

复指数函数 有下列性质： （1） 它是实指数函数的自然推广 （2） （３）在平面上处处解析，且 z x z x | e |= e  0, arg e = e z e z z (e ) = e

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (4)加法定理成立,即。 21+2 2 2 (5)e-是以2丌i为基本周期的周期 函数。 (6)极限me不存在。 2→00

（４） 加法定理成立，即。 （５） 是以 为基本周期的周期 函数。 （６） 极限 不存在。 1 2 1 2 z z z z e = e e + z e 2 i z z e → lim

2三角函数与双曲函数 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 由方程 y=coS y+isin cosy=lSIn y 可得 e e e te sin y cOsy 2

２ 三角函数与双曲函数 由方程 可得     = − = + − e y i y e y i y i y i y cos sin cos sin 2 , cos 2 sin i y i y i y i y e e y i e e y − − + = − =

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 因此我们可定义复三角函数为 定义2.5称 e e e+e sm2三 COS 2 分别为复数z的正弦函数和余弦函数

• 因此我们可定义复三角函数为 • 定义2.5 称 分别为复数 的正弦函数和余弦函数。 2 , cos 2 sin i z i z i z i z e e z i e e z − − + = − = z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 复正弦函数和余弦函数有以下性质: (1)它们是实函数情形的推广 (2)均处处解析,且 (Sin z)=COS z, (cos z)=-Sin z 事实上 - l e e e+e (sin z)=( -cOS Z

• 复正弦函数和余弦函数有以下性质： （1） 它们是实函数情形的推广 （2） 均处处解析，且 • 事实上 (sin z) = cosz, (cosz) = −sin z z e e i e e z i z i z i z i z cos 2 ) 2 (sin ) ( = +  = −  = − −

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (3)snz是奇函数,cOSz是偶函数; 且遵从通常的三角恒等式,如 sinz+cosz=1 sin(z1+22)=sin z, cos z2+ cos Z, sin z2 CoS(z1 +Z2)=coS Z, coS z2-sin z, sin z2 (4)sinz,cosz均以2丌为周期

（3） 是奇函数， 是偶函数； 且遵从通常的三角恒等式，如 （4） 均以 为周期 sin z cosz 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin cos 1 z z z z z z z z z z z z z z + = − + = + + = sin z, cosz 2

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (5)siz的零点为 z=n丌,(n=0,±1,±2,…) COS2的零点为 (n+-)丌(n=0,±1,±2,…) (6)snz,cosz不再是有界函数

（5） 的零点为 的零点为 （6） 不再是有界函数。 sin z z = n, (n = 0,1,  2, ) cosz ) ( 0, 1, 2, ) 2 1 z = (n +  n =    sin z, cosz