广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）直播课程三

③复变国数论(0345 复变函数论 直播课程三 主讲教师:手扬荣

直播课程三

复变函数论(09350 内容选讲 第四章幂级数

内容选讲 ◼ 第四章 幂级数

2复变函教论(03450 第四章界级数 数学分析中的级数理论很容易推广到复 函数上来,并得到某些系统的结论。不 仅如此,级数可作为研究解析函数的 个重要工具,将解析函数表示为幂级数。 是泰勒定理由实情形的推广,是研究解 析函数的另一重要方法(注意前一章是 用复积分方法研究)

第四章 幂级数 ◼ 数学分析中的级数理论很容易推广到复 函数上来，并得到某些系统的结论。不 仅如此，级数可作为研究解析函数的一 个重要工具，将解析函数表示为幂级数。 是泰勒定理由实情形的推广，是研究解 析函数的另一重要方法（注意前一章是 用复积分方法研究）

9复变函数论(0345 第一节复级数的基本性质 1、复数项级数 ∑ c=C,+c,+c+ n=1 Sn=1+a2+…Cn =E S n=

第一节 复级数的基本性质 １、复数项级数  = + +  + +   = n n  n   2  1 1 n n s =1 +2 +  s s n n = → lim   = = n 1 an s

复变函数论(09350 定理4设On=an+ibn(n=1,2, 则复数级(41)收敛于 s=a+i(da,b为实数 的充要条件为: 实级数∑,及∑bn n 分别收敛于a及b

◼ 定理4.1 设 ， 则复数级（4.1）收敛于 的充要条件为： 实级数 及 分别收敛于a及b。 = a + i b (n = 1,2, ) n n n s = a + ib(a,b为实数)   n=1 n a   n=1 n b

复变函数论(09350 2.一致收敛的复函数项级数 收敛f(x)=∑f() 致收敛

2. 一致收敛的复函数项级数   = = 1 ( ) ( ) n n 收敛 f z f z 一致收敛

2复变函教论(03450 ■定理4.5(优级数准则)若存在正数 列Mn(n=1,2,),使对一切z∈E,有 fn(x)≤Mn(n=1,2…) 而且正项级数叉M,收敛,则复函 n n=1 数项级数∑()在集E上绝对收敛且一 致收敛

◼ 定理 4.5 （优级数准则）若存在正数 列 ，使对一切 ，有 而且正项级数 收敛，则复函 数项级数 在集E上绝对收敛且一 致收敛。 M (n = 1,2, ) n zE f (z)  M (n = 1,2, ) n n   n=1 Mn   =1 ( ) n n f z

2复变函教论(03450 级数 1十z+z2+…+zn+… 在闭圆dl≤r(r<1)上一致收敛。 因有收敛的优级数 r n=0

◼ 级数 在闭圆 上一致收敛。 因有收敛的优级数 + + +  + +  n z z z 2 1 z  r(r  1)   n=0 n r

复变函数论(09350 定义45设函数∫(z)(n=1,2, 定义于区域D内,若级数(42)在D内 任一有界闭集上一致收敛,则称此级 数在D内内闭一致收敛

◼ 定义 4.5 设函数 定义于区域D内，若级数（4.2）在D内 任一有界闭集上一致收敛，则称此级 数在D 内内闭一致收敛。 f (z) (n = 1,2, ) n

复变函数论(09350 3解析函数项级数 函数项级数能逐项求导的条件是 苛刻的,然而解析函数项级数求 导的条件却比较宽些,这就是下 面的维尔斯特拉斯定理

3.解析函数项级数 ◼ 函数项级数能逐项求导的条件是 苛刻的，然而解析函数项级数求 导的条件却比较宽些，这就是下 面的维尔斯特拉斯定理