《初等数论》2004~2005学年第二学期初等数论科目考试试题B卷

2004~2005学年第二学期初等数论科目考试试题B卷 使用班级(老师填写):数本02级1,2,3班 三|四|五六|七八|九总分 阅卷人 、填空题(每空2分,共20分) .30!的十进制表达式中结尾有 司!;2.gcd(28,91)= 盏:3.如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为 彐}案 4. Wilson定理: 器!5:设r(n)表示正整数n的约数的个数,则使r(n)=12成立的最小正整数n= 圈!6.已知197为素数,且196!≡a(mod197),其中300≤a≤500, 如 :则a的值为 7.勒让得符号 1013 8.设a≥1,g为模p的一个原根,则2p2的一个原根为 9.6是模11的一个原根,则idl= 即 10.不定方程ax+by+cx=d有整数解的充要条件是_ 第1页(共页)

班 第 1 页 （共 页） 级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 李伟勋 审题： 审批： -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） 2004～2005 学年第二学期 初等数论 科目考试试题 B 卷 使用班级（老师填写）：数本 02 级 1,2,3 班 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 阅卷人 一、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1．30！的十进制表达式中结尾有 个零 2． 3 3 gcd(28 , 91 ) = ． 3．如果 a b, 是两个正整数，则不大于 a 而为 b 的倍数的正整数的个数为 ． 4．Wilson 定理： 5．设  ( ) n 表示正整数 n 的约数的个数，则使  ( ) 12 n = 成立的最小正整数 n = 6．已知 197 为素数，且 196! (mod 197 )  a ，其中 300 500  a ， 则 a 的值为 7．勒让得符号 503 1013     =   8．设  1， g 为模 p  的一个原根，则 2p  的一个原根为 9．6 是模 11 的一个原根，则 6 ind 1= 10．不定方程 ax by cz d + + = 有整数解的充要条件是

、单选题(请将各题正确答案填入下面表格内,每题2分共20分) 12 13 14 17 19 答案 1l.若f(n)为完全积性函数,则下式不正确的是( A.f(1)=1B.H(2m)=(n)C.f(n1n2)=f(n1)f(n2)f(m)=f(n1)f(n2) 12.设(m)为A6is函数,n=mp2…P,则和式∑(d)的值为( B b(modm)的充要条件是( A. mla-b B. a-bn C. m|a+b D. a+blm 14.下列同余式一定有整数解的是() A.26≡15(mod34) 17x≡8(mod34) C.10x≡26(mod34) 8x=9(mod34) 15.下列数是模13的平方非剩余的是( 16.如果a≡b(modm),c是任意整数,则() A.ac≡bc(modm)B.a=bC. ac s bc(modm)D.a≠b 17.以下模没有原根的是( B C.4 D.2 18.关于模m指标的性质,以下错误的是( A. ind g=1 B. ind ab= ind a+ind, b( mod m) C. ind (1)=o(m) D. ind a"=nind a( mod o (m)) 19.下列各数中不构成勾股数的是( B.7,24,2 C.3,4,5D.8,16,17 20.以下方程有本原解的是( A.x2+3y2=2B.x+y2=x4C.x2+y2=x4D.x2+4y2=x2 第2页(共页)

第 2 页 （共 页） 二、单选题（请将各题正确答案填入下面表格内, 每题 2 分,共 20 分） 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 11．若 f n( ) 为完全积性函数，则下式不正确的是（ ） A． f (1) 1= B．   (2 ) ( ) n n = C． 1 2 1 2 f n n f n f n ( ) ( ) ( ) = 1 2 f n f n f n ( ) ( ) ( ) = 12．设 ( ) n 为 Mobius 函数， 1 2 1 2 k k n p p p    = ，则和式 | ( ) d n  d 的值为（ ） A．0 B． 1 C． ( 1)k − D． 2 k 13． a b m  (mod ) 的充要条件是（ ） A． m a b | − B． a b m − | C． m a b | + D．a b m + | 14．下列同余式一定有整数解的是（ ） A． 26 15 ( mod 34 )  B． 17 8 ( mod 34 ) x  C． 10 26 ( mod 34 ) x  D． 8 9 ( mod 34 ) x  15．下列数是模 13 的平方非剩余的是（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 16．如果 a  b(modm) , c 是任意整数,则（ ） A． ac bc m  (mod ) B． a b = C． ac  bc m (mod ) D． a b  17．以下模没有原根的是（ ） A．4 B． p  C． 4p  D． 2p  18．关于模 m 指标的性质，以下错误的是（ ） A． 1 g ind g = B． ( mod ) g g g ind ab ind a ind b m  + C． 1 ( 1) ( ) 2 g ind m − =  D． ( mod ( ) ) n g g ind a nind a m   19．下列各数中不构成勾股数的是（ ） A．5， 12，13 B．7，24，25 C．3，4，5 D．8，16，17 20．以下方程有本原解的是（ ） A． 2 2 2 x y z + = 3 B． 4 4 4 x y z + = C． 2 2 4 x y z + = D． 2 2 2 x y z + = 4

三.计算题(每题5分,共30分) 21.求解不定方程6x-17y=18 兴:2.求解同余式组{x=5(mod9) 7(mod15) 图 彐 !铷3.求以3为平方剩余的质数的一般表达式 m+==: 第3页(共页)

第 3 页 （共 页） -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） 班 级（学生填写）： 姓名： 学号： 三．计算题（每题 5 分，共 30 分） 21．求解不定方程 6 17 18 x y − = 2．求解同余式组 3 (mod 7) 5 (mod 9) 7 (mod 15) x x x         3．求以 3 为平方剩余的质数的一般表达式

4.判断同余式x2=25(mod72)是否有解?有多少个解?并说明理由 5.求模11的全部原根。 6.设P=17及其一个原根g=3,构造其指标表如下 0 2 4 6 8 12 15 11 13 9 试求同余式x2=13(mod17)的全部解。 第4页(共页)

第 4 页 （共 页） 4．判断同余式 2 x  25 (mod 72) 是否有解？有多少个解？并说明理由。 5．求模 11 的全部原根。 6．设 P =17 及其一个原根 g = 3 ，构造其指标表如下： 个位 十位 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 16 14 1 12 5 15 11 10 2 1 3 7 13 4 9 6 8 试求同余式 12 x 13 (mod 17) 的全部解

证明题(共30分) 证明:当n为奇数时,有32”+1.(6分) 2.若a为任一单数,则a≡1(mod2"+2)(n≥1) (8分) 燕阳盎长铷 3.设p为奇素数,求证:12.32…(p-2)2≡(-1) (modP)(8分) 试 m+==: 第5页(共页)

第 5 页 （ 共 页） -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） 班 级（学生填写）： 姓名： 学号： 四．证明题（共 30 分） 1．证明：当 n 为奇数时，有 3 2 1 n + ．（ 6 分） 2 ． 若 a 为任一单数，则 2 2 1 (mod 2 ) ( 1) n n a n +   ． （ 8 分） 3 ． 设 p 为奇素数, 求证: 1 2 2 2 2 1 3 ( 2) ( 1) (mod ) p p P +    −  − （ 8 分）

4.证明:M6bis函数(x)为积性函数 (8分) ----,=,=,=,-, 第6页(共页)

第 6 页 （共 页） 4．证明： Mobius 函数 ( ) x 为积性函数 （8 分）