广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）复积分的概念及其简单性质

复交函数论 辅导课程五 王饼教师;李伟励

辅导课程五

第一节复积分的概念及其简单性质 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1.复变函数积分的定义 逐段光滑的简单闭曲线简称围线。对于 围线,规定逆时针方向为正方向顺时针 方向为反方向

第一节 复积分的概念及其简单性质 1.复变函数积分的定义 • 逐段光滑的简单闭曲线简称围线。对于 围线，规定逆时针方向为正方向顺时针 方向为反方向

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义31设有向曲线:C z(t),(a≤t≤B) 以a=z(a)为起点,b=z(B)为终点, f(a)沿C有定义,顺着方向取分 点 a=z b 0:21 把曲线分成若干个弧段(图31)

• 定义3·1 设有向曲线 ： 以 为起点， 为终点， 沿 有定义，顺着方向取分 点： • 把曲线分成若干个弧段（图3·1）。 z = z(t), (  t  ) a = z() b = z( ) f (z) C a = z0 ,z1 ,...,zn−1 ,zn = b C

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MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 作和数 ∑f(k)△=k 其中 k k k-1 当分点无限增多,而这些弧段长度的最大 值趋于零时,如果和数的极限存在且等 于J,则称f(=)沿C可积, 称J为f(z)的积分,并以记号表示 =∫f(z)dz

• 作和数 其中 当分点无限增多，而这些弧段长度的最大 值趋于零时，如果和数的极限存在且等 于 ，则称 沿 可积， 称 为 的积分，并以记号表示 k n k Sn  f k z = =  1 ( )  k = k − k−1 z z z J f (z) J f (z) C  = c J f (z)dz

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理31若f(z)=(x,y)+iv(x,y) 沿曲线C连续,则f(z)沿(积, 且 f(zdz=ludx-vdy +il vdx+udy

• 定理 3 · 1 若 沿曲线 连续 ， 则 沿 可积 ， 且 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) C f (z) C    = − + + c c c f ( z )dz udx vdy i vdx udy

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例31命C表连接点及b的任 曲线,试证 dz=b-a (2) zdz (6 2 2

• 例 3·1 命 表连接点 及 的任 一曲线，试证 （1） （2） C a b  = − c dz b a ( ) 2 1 2 2  = − c zdz b a

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 注 当C为闭曲线时, dz=0. zdz=0 C C

• 注 当 C 为闭曲线时， = 0 , = 0 c c dz zdz

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 2.复变函数积分的计算问题 设有光滑曲线C z=z(t=x(t)+iy(t)(astsB) f(zds f[z(tz(t)du

2．复变函数积分的计算问题 • 设有光滑曲线 C z = z(t) = x(t) + iy(t) (  t  )   = c f z ds f z t z t dt   ( ) [ ( )] ( )

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例3·2(重要的常用例子) ∫2a,(n=1) (z-a)”1O,(n≠1的整数) 这里C (注意,积分值与,尸均无关)

• 例 3·2 （重要的常用例子） 这里 （注意，积分值与 , 均无关）。     = = −  0,( 1 ) 2 ,( 1) ( ) n 的整数 i n z a dz c n  C : z − a =  a 