广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 幂级数 第一节 复级数的基本性质

复交函数论 辅导课程九 王饼教师;李伟励

辅导课程九

第四章幂级数 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 数学分析中的级数理论很容易推广到复 函数上来,并得到某些系统的结论。不 仅如此,级数可作为研究解析函数的 个重要工具,将解析函数表示为幂级数。 是泰勒定理由实情形的推广,是研究解 析函数的另一重要方法(注意前一章是 用复积分方法研究)

第四章 幂级数 • 数学分析中的级数理论很容易推广到复 函数上来，并得到某些系统的结论。不 仅如此，级数可作为研究解析函数的一 个重要工具，将解析函数表示为幂级数。 是泰勒定理由实情形的推广，是研究解 析函数的另一重要方法（注意前一章是 用复积分方法研究）

第一复级数的基本性质 MM限 NHANEASMATMALE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1复数项级数 定义4.1对于复数项的无穷级数 C1+c,+…+an+ 命 n=1 (部分和)。若 Sn=C1+,+…O, 则称复数项级数收敛于 否则称级数发散。 S ∑

第一节 复级数的基本性质 １ 复数项级数 定义4.1 对于复数项的无穷级数 命 （部分和）。若 则称复数项级数收敛于 否则称级数发散。  = + +  + +   = n n  n   2  1 1 n n s =1 + 2 +  s s n n = → lim s   = = n 1 an s

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理41设Cn=an+ibn(n=1,2, 则复数级(4.1)收敛于 S=a+ib(a,b为实数) 的充要条件为: 实级数>a及∑b 分别收敛于a及b

• 定理4.1 设 ， 则复数级（4.1）收敛于 的充要条件为： 实级数 及 分别收敛于 及 。 = a +ib (n =1,2, ) n n n s = a +ib(a,b为实数)   n=1 an   n=1 n b a b

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例4.1考察级数∑(+n) 的敛散性。 n= 解因∑,发散,故虽 收敛,我们仍断定原级数发散

• 例4.1 考察级数 的敛散性。 解 因 发散，故虽 收敛，我们仍断定原级数发散。 ) 2 1 ( 1   = + n n i n   =1 1 n n   =1 2 1 n n

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义42若级数∑1n收敛, 则原级数∑a称为绝对收敛; n=1 非绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛

• 定义 4.2 若级数 收敛， 则原级数 称为绝对收敛； 非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。   n=1 n a   n=1 an

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序,而不致改变其绝对收敛 性,亦不致改变其和。 (2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方 法得出乘积级数

（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序，而不致改变其绝对收敛 性，亦不致改变其和。 （2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方 法得出乘积级数

2.致收欲的复函数项级数 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义4.3设复变函数项级数 ∑/n(2)=f()+f1(z)+…+f(2)+2) 在点集上E存在一个函数f(=),对于 E上的每一个点z,级数(4.2)均 收敛于∫(),则称f(z)为级数 (4.2)的和函数,记为 f()=∑fn( n=1

2. 一致收敛的复函数项级数 • 定义4.3 设复变函数项级数 （4.2） 在点集上 存在一个函数 ，对于 上的每一个点 ，级数（4.2）均 收敛于 ，则称 为级数 （4.2）的和函数，记为   = = + +  + +  1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f z f z f z f z E f (z) E z f (z) f (z)   = = 1 ( ) ( ) n n f z f z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义44对于级数(42),如果对任意 给定的E>0,存在正整数N=N() 当n>N 时,对z切的 均有 f(z)-sn(2)<8 则称级数(42)在E上一致收敛于∫(=)

• 定义4.4 对于级数（4.2），如果对任意 给定的 ，存在正整数 当 时 ， 对一切的 均有 则称级数（4.2）在 上一致收敛于   0 N = N( ) n  N z  E f (z) − s (z)   n E f (z)

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理4.5(优级数准则)若存在正数 列Mn(n=1,2,…),使对一墀E 有n(2)≤Mn(n=12,) ∑M 而且正项级数收敛,则复函 ∑ E 数项级数在集上绝对收敛 且一致收敛

• 定理 4.5 （优级数准则）若存在正数 列 ，使对一切 ， 有 而且正项级数 收敛，则复函 数项级数 在集 上绝对收敛 且一致收敛。 M (n =1,2, ) n z  E f (z)  M (n =1,2, ) n n   n=1 M n   =1 ( ) n n f z E