广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 复数与复变函数 第一节 复数 第二节 复平面上的点集

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第一章复数与复变函数 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 第一节复数 第二节复平面上的点集 第三节复变函数 第四节复球面与无穷远点

第一章 复数与复变函数 • 第一节 复数 • 第二节 复平面上的点集 • 第三节 复变函数 • 第四节 复球面与无穷远点

第一节复数 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 复数域 形如z=x+l 的数,称为复数。其中实数x和y 分别称为复数的实部和虚部,常记为 x=rez, y=mz 全体复数并引进四则运算后称为复数域

第一节 复数 • 1 复数域 形如 的数，称为复数。其中实数 和 分别称为复数的实部和虚部，常记为 全体复数并引进四则运算后称为复数域 z = x + iy x y x = Re z, y = Im z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 加(减)法 21+z2=(x1±x2)+i(y1±y2) 乘法 2122=(x1x2-V1y2)+(x1y2+y1x2) 除法 x,22+i2-x2 Xix tVil2 (2≠0) 2 2 2+y2

• 加（减）法 • 乘法 • 除法 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z  z = x  x +i y  y ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z = x x − y y +i x y + y x ( 0) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1  + − + + + = z x y y x x y i x y x x y y z z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE °相等:z,=z。当且仅当 2 共轭复数: Z=X

• 相等： 当且仅当 • 共轭复数： 1 2 z = z 1 2 1 2 x = x , y = y z = x − iy

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 2复平面 个复数z=x+y 本质上由一对 有序实数(x,y)唯一确定。可对应 于平面上的点(x,y),这样表示 复数的平面称为复平面或z平面。其 中x轴称为实轴,y轴称为虚轴

• 2 复平面 一个复数 本质上由一对 有序实数 唯一确定。可对应 于平面上的点 ，这样表示 复数的平面称为复平面或 平面。其 中 轴称为实轴， 轴称为虚轴。 z = x + iy (x, y) (x, y) z x y

3复数的模 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 向量Oz的长度称为复数 Z=X+LY 的模或绝对值,即: r=z=√x2+y2

3 复数的模 • 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即： Oz z = x + iy 2 2 r =| z |= x + y

模的性质 ONGAUWRITAIVASMIN会M会MM会w题MM会 (1)|x图z,yz|,|z|x|+y (2) Z +Z 2 z1+|z 2 (3)‖z1|-|22|z1-22 (4)点z1与点z,的距离为 d(2,=2)=2-2=Vx1-x)2+(1-y)2

模的性质 | x || z |, | y || z |, | z || x | + | y | | | | | | | 1 2 1 2 z + z  z + z || | | || | | 1 2 1 2 z − z  z − z （1） （2） （3） （4）点 z1 与点 z2 的距离为 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 d(z ,z ) =| z − z |= (x − x ) + ( y − y )

4夏数的辐角 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 实轴正向到非零复数2=x+y 所对应的向量C2间的夹角b满足 tan b=s 称为复数z的辐角,记为: 0=Arg z

4 复数的辐角 • 实轴正向到非零复数 所对应的向量 间的夹角 满足 称为复数 的辐角，记为： z = x + iy Oz  x y tan = z  = Arg z

MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 任一非零复数有穷多个辐角。 以argz表其中的一个特定值,并称 合条件-丌< argz丌 的一个为Argz的主值,或称之为 z的主辐角。有下述关系: 6=Arg z= arg z+ 2kT k=0,±1,+2,…)

• 任一非零复数有穷多个辐角。 • 以 表其中的一个特定值，并称 合条件 的一个为 的主值，或称之为 的主辐角。有下述关系： arg z −  arg z   Arg z z ( 0, 1, 2,) arg 2 =   = = + k  Arg z z k