《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型

第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 §2 标准型 §3 唯一性 §4 正定二次型

第五章￾￾二次型 • §1￾￾￾￾二次型的矩阵表示 • §2￾￾￾标准型 • §3￾￾￾￾唯一性 • §4￾￾￾￾正定二次型

§1二次型的矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点 与中心重合时，一个有心二次曲线的 般方程为 ax"+2bxy+cy2=f (1) 作党的倦标轴纸时针方向)， 1 (2)iy=xesing +yonq 把方程(1)化成标准型

§1 二次型的矩阵表示 n 在解析几何中，我们看到，当坐标原点 与中心重合时，一个有心二次曲线的一 般方程为 （1） 作适当的坐标转轴（反时针方向）， n （2） 把方程（1）化成标准型

二次齐式在其它学科如物理、力学中也 经常用到。一般的二次齐式为： n定义设P是一个数域，一个系数在数域P 中的X1,x2,L,Xn 的二次齐次多项式 f(x1,x2,L,xn)=41x+2a12xx2+ L +2amx x a22x2+L +2a2nx2x,+ L+amx (3) 称为属于P上的一个n元二次型，或者简称 二次型

￾￾ ￾￾￾￾二次齐式在其它学科如物理、力学中也 经常用到。一般的二次齐式为： n 定义￾￾设P是一个数域，一个系数在数域P 中的￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾的二次齐次多项式 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ （3） ￾￾￾称为属于P上的一个n元二次型，或者简称 二次型。￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾

如x2+xx2+3xx3+2x号+4x2x3+3x n 定义1设x1,X2,L,Xm1,y2,L,ym 是两组文字，系数在数域P中的一组关系 式ix,=Cy+C22+L+Cnym X2=C21y+C22y2+L +cznyn (4L L xn=Cmy+cn2y2+L+cmyn x,x2,L,n y1,y2,L, 称为由 到 的一个线性替换，或简称为线性替换

￾￾ 如 n 定义1￾￾设￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾；￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ 是两组文字，系数在数域P中的一组关系 式 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ （4） ￾￾￾称为由￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾到￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ 的一个线性替换，或简称为线性替换

如果系数行列式 |c0 那么线性替换(4)就称为非退化的。 n将(4)代入(3)，得到关于y1,y2,L,ym 的二次型。所以线性替换将二次型变成二次 型 n如(2)中 conq sing 0 sing cosq 为非退化的

￾￾ 如果系数行列式 ￾￾￾那么线性替换（4）就称为非退化的。 n 将（4）代入（3），得到关于￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ 的二次型。所以线性替换将二次型变成二次 型 n 如（2）中 ￾￾￾为非退化的

n二次型的矩阵表示：令ai=aii<j n二次型(3)可以写成 f(x1,x2,L,xn）= au)a2x x2+L+ainx xn +a+d22x2+L+a2nx +Lamcn2x2+dmx n aa ayx xj i=1j=1

n 二次型的矩阵表示：令 n 二次型（3）可以写成 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ （5）

n二次型(5) 的矩阵： 28011 12 L g L A= az 02 2n÷ Y= t2÷ S L L L s M 0n2 L annB 。 A=A0 n二次型的矩阵表示式为 f(x,x2,L,x)=Xgx n二次型的矩阵表示式是唯一的

n 二次型（5）的矩阵： n 二次型的矩阵表示式为 n 二次型的矩阵表示式是唯一的

令 8C11 C12 L L C= CC21 C22 C2n Y= 9y2÷ FL L L L Cn2 L 则线性替换(4)的矩阵表示式为 C11 C12 L CIn S S ÷ gC21 C22 L C2n 9y2÷ M GL L L L 9 Cn2 L Cnn

n 令 则线性替换（4）的矩阵表示式为

或者 X-CY n二次型 ∫(x1,x2,L,xn)=X1X 作非退化线性替换X=CY f(x,x2,L ,x)=Xdx =YBY B=CMC n定义2数域P上的n×n矩阵A,B称为合同 的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C, 使B=CMC n1)反身性；2)对称性；3)传递性

￾￾ 或者￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾X=CY n 二次型 ￾￾￾作非退化线性替换￾￾X=CY n 定义￾2￾￾数域P上的n×n矩阵A,B称为合同 的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C， 使 n 1）反身性；2）对称性；3）传递性

n 因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩 阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二 次型的标准化变为矩阵的标准化问题。 n在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替 换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以将 所得的二次型经逆变换 Y-CX 还原为原来的二次型。这样我们可以从所得的 二次型的性质可以推知原二次型的性质。 Back

n 因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩 阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二 次型的标准化变为矩阵的标准化问题。 n 在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替 换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以将 所得的二次型经逆变换 ￾￾￾还原为原来的二次型。这样我们可以从所得的 二次型的性质可以推知原二次型的性质。 Back