《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 行列式

第一章§1数域 按照我们的教学计划，我们先介绍 数域的基本概念 G

第一章 §1 数域 按照我们的教学计划，我们先介绍 数域的基本概念 Go

§1数域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算 性质称为代数性质。有理数、实数、复数对 这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也 具有这样的性质，引入：

§1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算 性质称为代数性质。有理数、实数、复数对 这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也 具有这样的性质，引入：

定义二设P是由一些复数组成的集合 其中包括0和1，如果P中任意两个数 (这两个数也可以相同)的和、差、积、商 (除数不为零)仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)R (real number) C(complex number)。 例1所有具有形式a+b√2的数 (a,b是任意有理数)，构成一个数域。通 常用 Q(V2) 来表示这个数域

定义一 设 P 是由一些复数组成的集合， 其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数 （这两个数也可以相同）的和、差、积、商 （除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)、R（real number)、 C(complex number)。 例1 所有具有形式 的数 （a,b是任意有理数），构成一个数域。 通 常用 来表示这个数域。 a +b 2 Q( 2)

证明显然 Q(V2)包含0和1并且对于 加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。 (a+b/2)c+d2) =(ac+2bd)+(ad+be)2E0(v2) 设a+bV2≠0于是a-bN2 也不为 零，而 c+dv2 (c+d√2)(a-b√2) 圈 a+b2 (a+bV2)(a-b√2) ac-2bd ad-hcV2∈o(N2) 福 a2-2b2 a2-2b2

证明 显然 包含0和1并且对于 加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。 设 于是 也不为 零，而 Q( 2) ( 2 ) ( ) 2 ( 2) ( 2)( 2) ac bd ad bc Q a b c d = + + +  + + a +b 2  0 a −b 2 2 ( 2) 2 2 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) 2 2 2 2 2 2 Q a b ad bc a b ac bd a b a b c d a b a b c d  − − + − − = + − + − = + +

由上两式可以得出Q(√2)乘、除法也是封 闭的。 例2) 所有可以表成形式 0+a1π+.+anπ” bo十b,E+.+b元m 的数组成一数域，其中n,m为任薏非负整数， 是整数。 a,b(i=0,1,.,mj=0,1,.,1m)

由上两式可以得出 乘、除法也是封 闭的。 例2 所有可以表成形式 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数， 是整数。 Q( 2) m m n n b b b a a a     + + + + + +   0 1 0 1 a ,b (i 0,1, ,n; j 0,1, ,m) i j =  = 

例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封 闭的，但对于加、减不是封闭的。 √2的整倍数的全体构成一数集，它对于 加、减法是封闭的，但对于除法不封闭

例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封 闭的，但对于加、减不是封闭的。 的整倍数的全体构成一数集，它对于 加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。 2

重要性质：所有的数域都包含有理数作为 他的一部分。 事实上，设P是一个数域，由定 义，1+1=2,2+1=3，.，n+1=n+1,.全 属于P,再由P对减法的封闭性，o- n=-n,也属于P,因而P包含全体整数。 阔 任何一个有理数可以表成两个整数的商， 由P对除法的封闭性即得上述结论。 Back

重要性质：所有的数域都包含有理数作为 他的一部分。 事实上，设 P 是一个数域，由定 义，1+1=2，2+1=3，.，n+1=n+1,.全 属于P ，再由 P 对减法的封闭性，o￾n=-n，也属于P ，因而P 包含全体整数。 任何一个有理数可以表成两个整数的商， 由P 对除法的封闭性即得上述结论。 Back

第二章 行列式 引言 排列 n阶行列式 n阶行列式的性质 行列式的计算 行列式按一行（列）展开 Cramer法则 Laplace定理。行列式的乘法规则

第二章 行列式  §1 引言  §2 排列  §3 n阶行列式  §4 n阶行列式的性质  §5 行列式的计算  §6 行列式按一行（列）展开  §7 Cramer法则  §8 Laplace定理．行列式的乘法规则

§1引言 一元一次方程：ax=b,只要a0,就可 以解出x=bla。 二元线性方程组： aux1 +a2x2 =b 当二阶行列式 a21X1+a22X2=b2 au a12 0 丰 bi a12 a11 b a21 a22 d22 a21 b2 X1= X2= 时，该方程组有唯一解， an 412 a411 412 a21 a22 a21 a22

§1 引言 一元一次方程：ax=b，只要a≠0，就可 以解出 x=b/a。 二元线性方程组： 当二阶行列式 时，该方程组有唯一解， 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b  + =   + =  11 12 21 22 0 a a a a  2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 , a a a a a b a b x a a a a b a b a x = =

§1引言 aux+a2x2 =b a21x1+a2x3=b

§1 引言 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2  + =   + = a x a x b a x a x b