《高等代数》课程教学课件（讲稿）第三章 线性方程组

第三章 线性方程组 n §1 消元法 n §2 n维向量空间 n §3 线性相关性 n§4 矩阵的秩 n §5 线性方程组有解判别定理 n §6 线性方程组解的结构

第三章 线性方程组 n §1 消元法 n §2 n维向量空间 n §3 线性相关性 n §4 矩阵的秩 n §5 线性方程组有解判别定理 n §6 线性方程组解的结构

§1消元法 n现在讨论一般线性方程组： iax+a2x2+L +ainxn=b a2+a22x2+L+a2nxn=b2 (1L L tasxas2x2+dsnxn=b, X,x,L,X 其中 4,(i=1,2,L,为2班知n，s 为方程个数

§1￾￾消元法 n 现在讨论一般线性方程组： ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ (1) ￾￾￾其中￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾为n个未知量，s 为方程个数；￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ 为

方程组的系数，b(i=1,2,L,S) 为常数 项。s与n不一定相等。满足方程组(1) 的有序数组（飞，k,L,k) 称为方程组的 解；解的全体称为解集合。如果两个方 程组有相同的解集合，就称为它们是同 解的 密

￾￾￾ ￾￾方程组的系数，￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾为常数 项。s与n不一定相等。满足方程组（1） 的有序数组￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾称为方程组的 解；解的全体称为解集合。如果两个方 程组有相同的解集合，就称为它们是同 解的。 ，￾￾￾￾￾￾

412 L L A= 42 A为系数矩阵 L L L 2 42 o be 4 b GL L LL A为增广矩阵

A为系数矩阵 为增广矩阵

§例解方程组 ì2x1-x2+3x3=1 14x+2x2+5x=4 2 1+2x3=6 12xx2+3x=1i2x-七2+3x3=1 4xx=21 x2-x3=5 1圈x2-x=5 3x3=-18 方程组的解为(9，-1，-6) 褐

§ 例￾￾解方程组 ￾￾￾ 方程组的解为（9，-1，-6）

用了 1、用一个非零的数乘某一方程； 2、把一个方程的倍数加到另一个方程； 3、互换两方程的位置。 定义1变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换。及矩阵的初等行变换。 容易验证初等变换总是把方程组变成同 解方程组

用了 1、用一个非零的数乘某一方程； 2、把一个方程的倍数加到另一个方程； 3、互换两方程的位置。 定义1￾￾变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换。及矩阵的初等行变换。 容易验证初等变换总是把方程组变成同 解方程组

§用初等变换解一般线性方程组： 对于方程组(1)如果x的系数 41,41,L,41全为零，(1)可以看为 名，L,心，的方程来解。否则，利用初 等变换(3)可以设a,10，用变换 2)将方程组(1)变为：

§ 用初等变换解一般线性方程组： ￾￾￾对于方程组（1）如果￾￾￾￾￾的系数 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾全为零，（1）可以看为 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾的方程来解。否则，利用初 等变换（3）可以设￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾，用变换 （2）将方程组（1）变为：

iax+a2x2 +L +aunx,=b agx,+L +agx,=bg (3 LL agx2 +L +agx,=bg 阔 其中 4,=2Lj=2L,m C41

￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ （3） 其中 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾

这样解方程组(1)就归结为解下方程组 agx2 +ag,x,=bg i c (4) LL agx2+L +agx,=bg 晟 超 对(4)重复以上过程，最后得到 个阶梯形的方程组

这样解方程组（1）就归结为解下方程组 （4） 对（4）重复以上过程，最后得到 一个阶梯形的方程组

icux+c12x2+L +cirx,+L +cinxn 1 C22X2+L +c2rx+L+c2nx=d2 LLLLLLLLLLLL Cmx,+L +cmxn=dr 0=d,+i 0=0 LL 0=0 超

￾￾￾