《高等数学》课程教学课件（讲稿）9-1-9方向导数与梯度

第九讲 方向导数与梯度

多元函数微分法及其应用 第九讲 方向导数与梯度

多元函数微分法及其应用 1.方向导数 定义：若函数f(x,y,Z)在点P(x,y,z)处 沿方向1（方向角为a,B,Y)存在下列极限： Af P(xyz) lim p→0 p 记作 of lim f(x+△x,y+△y,z+△z)-f(x,y,Z) d →0 p p=√（△x)+(△y)2+(△z)2,) △x=pC0S, △y=pcosB,△z=pc0sY 则称为函数在点P处沿方向1的方向导数

多元函数微分法及其应用 1.方向导数 ᵅ ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) ᵰ 处 ) 存在下列极限: ᵄ ′ = 记作

多元函教微分法及其应用 定理：若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 af of af al ax cosa+ I cosB+az cosy ay 其中a,B,Y为的方向角 证明：由函数f(x,y,z)在点P可微，得 /P(xy) af af △f= Ax+y △z+o(p) of 二p0x af osa+ o cos B+Oz -cosy)+o(p) 故 of △f a .f =lim p→0 p cosa af cos阝+a2 cosy

多元函数微分法及其应用 ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ᵅ 定理: 且有 得 ᵰ ᵄ ′ 故

多元函数微分法及其应用 对于二元函数f(x,y),在点P(xy)处沿方向1（方向角 为αB的方向导数为 af f(x+△x,y+△y)-f(x,y) lim olpo P =fx(x,y)cosa+fy(x,y)cos B X (p=V(Ax)2+(Ay)2,△x=pcos&,△y=p cosB) 特别： ·当l与x轴同向(a=0,B=)时有 of af -0x ·当l与x轴反向(@=π，B=)时，有 af af al 0x

多元函数微分法及其应用 在点ᵄ (ᵆ ,ᵆ )处沿方向ᵅ (方向角 ᵄ ᵅ ᵆ ᵆ ᵅ 特别: (ᵯ = 0, ᵯ = ᵰ 2 )时,有 ᵅ

多元函教微分法及其应用 例1.求函数u=x2yz在点P(1,1,1)沿向量=(2，-1,3) 的方向导数. 解：向量1=(2，-1,3)的方向余弦为 2 -1 3 p-(2z品-2+y1 9 6 V14

多元函数微分法及其应用 的方向导数

多元函数微分法及其应用 例2.求函数z=3x2y-y2在点P(2,3)沿曲线y=x2-1 朝x增大方向的方向导数， 解：将已知曲线用参数方程表示为 x=x y=x2-1 它在点P的切向量为(1,2x)川x=2=(1,4) .12X 1 4 cosa=cos= 脱p=bw后+6-20高lk2)=0

多元函数微分法及其应用 解:将已知曲线用参数方程表示为 ᵅ ᵆ ᵆ 2 ᵄ − 1

多元函教微分法及其应用 例3.设元是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处 指向外侧的法向量，求函数u=y6x2+8y2 在点P处沿 Z 方向元的方向导数 解：元=(4x,6y,2z) =2(2,3,1) 方向余弦为 cosa 2 3 1 u 而 6x 6 0x z√6x2+8y2 同理得 Ou 1 ，= 8 Bu P=1 4(6×2+8×3-14×1)=

多元函数微分法及其应用 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 = 2(2 , 3 , 1) 的方向导数. = 11 7

多元函数微分法及其应用 2.梯度 af af af of 方向导数公式 al 0x _cos B+oz cosy ay 令向量 G=( fof af 0y'0z 10=(cosa,cosB,cosy) =G.币-los(d.) 0=1 当与的方向一致时，方向导数取最大值： max 方向：f变化率最大的方向. 这说明G= 模：f的最大变化率之值

多元函数微分法及其应用 方向导数公式 令向量 这说明 方向导数取最大值： 2.梯度

多元函教微分法及其应用 1.定义 向量G称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient), 记作gradf,即 of f* 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 gar-8+8-(8585) 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影

多元函数微分法及其应用 1. 定义 即 gradᵅ (gradient), 在点ᵄ (ᵆ ,ᵆ ) 处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影

多元函数微分法及其应用 2.梯度的几何意义 对函数2=fxy), 曲线 长2》在m面上的投影 Lxy)=C称为函数f的等值线 设f,不同时为零，则L上点P处的法向量为 f=C ()=grad fle f=C, f-c 0 X (设C1<C2<C3)

多元函数微分法及其应用 2. 梯度的几何意义 ᵃ ∗ :ᵅ(ᵆ ,ᵆ ) = ᵃ 设ᵅ ᵆ , ᵅ ᵆ不同时为零, ᵅ ᵆ ᵆ ᵅ = ᵅ 1 ᵅ = ᵅ 2 ᵅ = ᵅ 3 (设ᵅ 1 < ᵅ 2 < ᵅ 3 ) ᵄ 对函数ᵆ = ᵅ(ᵆ ,ᵆ )