《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-5-2傅里叶级数的计算1/3

第二讲 傅里叶级数的计算

无 穷 级 数 第二讲 傅里叶级数的计算

无穷级数 1.傅里叶级数求特殊级数的和 定理：设f(x)是周期为2π的周期函数，且 00 f0-2z+∑a,cosx+b.smn n-1 右端级数可逐项积分，则有 au=是」nf(x)cosnxdx (n=0,1,2.) bn=」nf(x)sinnxdx (n=1,2,)

无 穷 级 数 右端级数可逐项积分, 则有 1. 傅里叶级数求特殊级数的和

无穷级数 2.狄利克雷条件 定理：设f(x)是周期为2π的周期函数，并满足狄利克雷条件 (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点： (2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 00 f(x), x为连续点 n=1 2 2,x为间断点' 其中an,bn称为函数f(x)的傅里叶系数

无 穷 级 数 2.狄利克雷条件 (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; (2) 在一个周期内只有有限个极值点

无穷级数 举例 例1：将周期为2m的函数1)=10石0展开 成傅里叶级数. 解：f(x)在x≠kπ处，连续 a=是」nfx)cosnxdx =是0 cosnxdx-°.cosnxdx 1 sinnx n元

无 穷 级 数 举例

无穷级数 bn=是∫nf(x))sinnxdx =是0 sinnxdx-是sinnxdx =-点cosnx6+coSnx|”=0 n元 =-1(cosnn-1)+(1-cosnn) nπ 老-+应e 0,n=2k 在x=kπ处由狄利克雷定理， fx)+f==1+1=0. 2 2

无 穷 级 数

无穷级敛 00 4 f(x)= 1 /2n-1 sin(2n-1)x,(x≠kπ；x∈R) n=1 在x=kπ处级数收敛于0，k∈Z. 当n趋于o∞时，傅里叶级数逼近f(x)如图2. 0 π 图1 图2

无 穷 级 数 ᵅ ᵆ ᵆ − 1 − ᵰ 1 ᵰ ᵅ ᵆ ᵆ 图1 图2 − ᵰ ᵰ 1 − 1

无穷级数 特殊级数的和 00 4 1 fw=22m-isim2n-1)x,（x≠kr:x∈R) n=1 收效于f)-100以2为周期 解：取x=级数收敛于1，则有 1一-即 00 00 π 2n-1 n=1 n=1 11111 元 1- 2n-1 十.三 4

无 穷 级 数 特殊级数的和

无穷级数 举例 例2：将周期为2π的函数f(x)= , 0, -π≤x<0展开成 0≤x<π. 傅里叶级数. -37 -2-π 2元 解：f(x)在x≠(2k-1)π(k∈Z)处连续 an=是」if(x)dx=是”nxdx=-

无 穷 级 数 举例 ᵆ − ᵰ ᵰ ᵅ ᵆ − 3ᵰ -2 ᵰ 2 ᵰ 3 ᵰ

无穷级数 an=是fa)cosnxdx=是xcosnxdx xsinnxsinnxdx =cosx=1-(-10四，m=1,2-) bn=是」nf(x)sinnxdx=是」'xsinnxdx xcosnxcosnxdx 1)n+1 (n=1,2.)

无 穷 级 数

无穷级敛 1-(-10 x(-1)n+1 cosnx 1n2π sinnx (coa5x+am5gtn6x+ 2 x≠(2k-1)π，x∈R,(k∈Z) x=(2k-1)π，(k∈Z)时，级数收敛于0+（-元四=一π 2 2

无 穷 级 数 级数收敛于