《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-3-4幂级数

第四讲 幂级数的和函数习题

无 穷 级 数 第四讲 幂级数的和函数 习题

无穷级数 1.几种常见幂级数的和函数 0 ∑0=1+x.+x0+. 1 1-x'(-1<x<1) n=0 00 -=1-x+2-+n+=x(1<x<0 n=0 00 =1++++=e,e 1 1 n=0 00 .x2 ，xn+1 =x十 n+1 2+. n+1+.=-lm(1-x)(-1≤x<1) n=0

无 穷 级 数 1.几种常见幂级数的和函数

无穷级数 1 x2n=1+x2+.+x2n+.= 1-x2,（-1<x<1) m=0 00 x2n+1 3 x2n+1 1+x n= 2m+1=x+3+.+2n+i+.=n- 0 ∑（-1mx2m=1-x2++(-1)”x20+=1+2,-1<x<1) 1 n=0 00 x2n+1 2n+1+=arctanx, (-1≤x≤1)

无 穷 级 数

无穷级数 举例 1 例1.求幂级数 x2n-1的和函数S(x), 2n-1 n=1 00 解 x=1+x+.+x”+.= 1 1-x'(-1<x<1) n=0 两边同时乘以x的求导： ∑2m=1+2+4++xn+. 1 (1-x2) n= 两边同时积分： =+号++a+ ● n=0

无 穷 级 数 举例 例1. 求幂级数 解： 两边同时积分：

无穷级数 00 n=0 ='=品) ,(-1<x<1) （-1<x<10

无 穷 级 数

无穷级数 00 举例 例2.求幂级数>(n+2)xn+3的和函数S(x): 00 n=1 解 ∑.x0=1+x+.+x0+.= 1 1-x-1<x<1) n=0 两边同时求导： (-1<x<1) 00 1 nxn-1=1+2x+3x2+.+nxn-1+.= (1-x)21 n=1 00 +23=2B2+43+)=a2-2 ∑( x2 n=1 x2 S(x)= 1-2-x2-2x3,(-1<x<1)

无 穷 级 数 举例 例2. 求幂级数 解： 两边同时求导： ( − 1 < ᵆ < 1)

无穷级数 举例 2n-1 例3.求幂级数 x2(n-1)的和函数S(x), 2n n=1 解∑x2m=1+2+.++.=1平，(-1<x<) 1 n=0 两边同时求导：(-1<x<1) 00 2x 2nx2n-1=2x+4x3+.+2nx2n-1+.= (1-x2)2(I 2n-1 把代入(I)试：)2n V2x 2v2x 2(1-2x2)2 (2-x2)2

无 穷 级 数 举例 例3. 求幂级数 解： 两边同时求导： ( − 1 < ᵆ < 1) (Ⅰ )

无穷级数 00 2n n=1 n=1 n=1 00 1 1 n=1 14V2x 1 S(x)= 2 V2x(2-x2)2x2 1- 2 4 1 2+x2 (2-x2)z-2-x2= (2-x2)2

无 穷 级 数

无穷级数 00 举例 例4.求幂级数)n(x-1)的和函数S(x) 00 n=1 解：nx-1=1+2x+3x2+.+nxn-1+.= 1 (1-x)2 n=1 (-1<X<1) 0 00 ∑nx-1)m=(x-1)∑n(x-1"-1=a-x-1, x-1 n=1 n=1 (-1<X-1<1) x-1 S(x)= (2-x)2,(0<x<2)

无 穷 级 数 举例 例4. 求幂级数 解： ( − 1 < ᵆ < 1) ( − 1 < ᵆ − 1 < 1)

无穷级数 课堂小结 1.几种常见幂级数的和函数 是=1+++品+=e,E ●X0 1 1 n=0 ∑2m=1t2+.+x2+=,1 0 1-2,（-1<x<1)

无 穷 级 数 1.几种常见幂级数的和函数 课 堂 小 结