《高等数学》课程教学课件（讲稿）8.1-6空间直线

第六讲 空间直线

向量代数与空间解析几何 第六讲 空间直线

向量代数与空间解析几何 1.空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 Ax+By+Cz+D=0 Azx+By+Cxz+D2=0 (不唯一）) X

向量代数与空间解析几何 1.空间直线方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 ᵃ 1 ᵆ + ᵃ 1 ᵆ + ᵃ 1 ᵆ + ᵃ 1 = 0 ᵃ 2 ᵆ + ᵃ 2 ᵆ + ᵃ 2 ᵆ + ᵃ 2 = 0 (不唯一) ᵆ ᵆ ᵆ

向量代数与空间解析几何 2.对称式方程 已知直线上一点Mo(xo,yo,Zo)和它的方向向量 3=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z) 则MoM/3 M(xyz) 故有 x-xo y-yo Z-Z0 m m /MXy3) 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程） 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,卫≠0时，直线方程为

向量代数与空间解析几何 ᵄ 0 ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 则 ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 和它的方向向量

向量代数与空间解析几何 3.参数式方程 设 x-0y-0=Z-Z0=t m m p 得参数式方程： X=X。+t y=yo+rt 之=20+屯

向量代数与空间解析几何 3. 参数式方程 设 得参数式方程 : ᵆ = ᵆ 0 + ᵅᵆ ᵆ = ᵆ 0 + ᵅᵆ ᵆ = ᵆ 0 + ᵅᵆ

向量代数与空间解析几何 例1.用对称式及参数式表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0 解先在直线上找一点， 令x=1,解方程组 Jy+2=-2 1y-3z=6 得y=0,2=-2,故(1,0，-2)是直线上一点 再求直线的方向向量，已知直线的两平面的法向量为 n=(1,1,1),n2=(2,-1,3)31n,31n2

向量代数与空间解析几何 例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. ᵆ + ᵆ = − 2 ᵆ − 3ᵆ = 6 得 ᵆ = 0, ᵆ = − 2， 已知直线的两平面的法向量为

向量代数与空间解析几何 k “3=nXn2 1 2 -1 =(4,-1,-3) 故所给直线的对称式方程为 2+2 -1 Γ-3=t 参数式方程为 （x=1+4t )y=-t z=-2-3t 解题思路： 先找直线上一点 再找直线的方向向量

向量代数与空间解析几何 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 = = ᵆ ᵆ − 1 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. = (4, − 1, − 3)

向量代数与空间解析几何 基础练习 1.过点(1,2,4)且与平面2x+3y-z+5=0 垂直的直线方程（C) A.2(x-1)+3y-2)-(z-4)=0 B.2x+3y-z=10 C. X-1=y-2=-4 2 3 -1 == D.七1 2

向量代数与空间解析几何 基础练习 C

向量代数与空间解析几何 2.线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L1,L2的方向向量分别为 S=(m1,n1,p1),S2=(m2,n2,p2) 52 则两直线夹角中满足 |sS·s2引 mim2 nin2 pip2 c0Sφ= 13ill s2l √m12+n12+p12Vm22+n22+p22

向量代数与空间解析几何 2.线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) ᵃ 2 ᵃ 1 ᵱ 的方向向量分别为

向量代数与空间解析几何 特别有： (1)L1⊥L2 ←台S11S2 =m1m2+n1n2+p1p2=0 (2)L lIL2 →S,∥S2 ←→ m4==P4 n2 P2

向量代数与空间解析几何 特别有: (1)  ᵃ 1 ⊥ ᵃ 2 (2)  ᵃ 1 // ᵃ 2 ⟺ᵆ 1 // ᵆ 2

向量代效与空间解析几何 例2.求以下两直线的夹角 x+y+2=0 t: x-1 z+3 1 L2 1x+2z=0 解：直线L1的方向向量为31=(1，-4,1) 直线L2的方向向量为 i方 2 1 10 =(2,-2,-1) 二直线夹角的余弦为 102 |1×2+(-4)×(-2)+1×(-1)川V2 C0S中= √12+(-4)2+12V22+(-2)2+(-1)2 从而 =子

向量代数与空间解析几何 例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线ᵃ _1 从而 的方向向量为 的方向向量为 = (2,  − 2,  − 1) ᵱ = ᵰ 4