《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-1-1常数项级数的概念与性质

第一讲 常数项级数的概念

无 穷 级 数 第一讲 常数项级数的概念

无穷级数 1.常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,.)边形，设ao表示内接正三角 形面积，αk表示边数增加时增加的面积， 则圆内接正3×2n边形面积为 a+a1+a2+.+an 当n→oo时，这个和逼进于圆的面积 即 A=a0+a1+.+an+

无 穷 级 数 1.常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 ᵈ ᵼ + ⋯ 即

无穷级数 定义1.给定一个数列u1,u2,.,.将各项依此相加， 00 un=u1+u2+.+un+ n=1 称上式为无穷级数，其中第n项um叫做级数的一般项. 级数的前n项和 Sn= uk=u1+u2+.+un k=1 称为级数的部分和

无 穷 级 数 称为级数的部分和

无穷级数 2.无穷级数的收敛与发散 若lim Sn=S存在，则称无穷级数收敛，并称S为级数的和，记作 11→00 ●0 n=1 称差值rn=S-Sn=un+1十un+2+.为级数的余项. limrn 0 九→oo 若lim Sn不存在， 则称无穷级数发散. 1→0o

无 穷 级 数 则称无穷级数发散. 2.无穷级数的收敛与发散

无穷级数 举例 例1.判定下列级数的敛散性 份”) lim 0 1 ·lim Sn=1,所以该级数收敛。 1<1 n→o∞ 9=

无 穷 级 数 举例 例1. 判定下列级数的敛散性. 解: (1) ᵉ = ᵼ ᵽ < ᵼ

无穷级数 -00 解：(2) 1+ 3 0 号，所以该级数收敛。g=1-名1

无 穷 级 数 解: (2) ᵉ = | − ᵽ ᵽ | ᵼ

无穷级数 举例 例2.讨论等比级数的敛散性 00 aqn=a+aq+aq2+.(a≠0) n=0 解0)g=1,=月。 =na,发散； k=0 q=-1,Sn=a-a+a-a+. 0,n为偶数 (a,n为奇数 所以q=士1时级数发散

无 穷 级 数 举例 例2. 讨论等比级数的敛散性. 发散；

无穷级数 2191*1,5n=y。 a(1-q") lim q"= ∞，lql>1 k=0 1-qn0 0,lq1 00 结论：几何级数 ∑ag"=a+ag+ag2+.(a≠0) n=0 lim Sn= n-→0 发散，1q≥1

无 穷 级 数 (2 ) 结论：几何级数

无穷级数 举例 例3.讨论级数1+2+3+.+n+.的敛散性. 解：Sn=1+2+3+.+n=m+ 2 limsn lim (1)=o n→oo n→00 2 所以该级数发散

无 穷 级 数 举例 解: 所以该级数发散

无穷级数 基础练习 1. 下列哪个级数是收敛的？ (C) A. n=1 0 B 4-3 00 D. (n+1) n=1

无 穷 级 数 基础练习 1. 下列哪个级数是收敛的？ √ (ᵆ )