《高等数学》课程教学课件（讲稿）8.1-3点积与叉积

第三讲 点积与叉积

向量代数与空间解析几何 第三讲 点积与叉积

向量代数与空间解析几何 1、两向量的数量积 引例.设一物体在常力下作用下，沿与力夹角为口 的直线移动，位移为ミ则力下所做的功为 w=Fs]cos0 1.定义 设向量d,的夹角为g称 M M 记作 la bcos0 a.b W=F.3 为与b的数量积（点积）

向量代数与空间解析几何 1、两向量的数量积 沿与力夹角为￾ 的直线移动, ᵇ = 1. 定义 设向量 的夹角为￾, 称 记作 (点积) . ᵇ ᵼ ᵳ ᵇ ᵽ

向量代数与空间解析几何 当a≠0时，b在d上的投影为 cosB记作一Prjab 。 故ab=|@lPrjab a 同理当五≠时 d≠可，b≠可， a.b=bl.Pripa 则a.b=0 2.性质 (1)a.a=a2 (2)d,为两个非零向量，则有 a.b=0 -aLb a而=野

向量代数与空间解析几何 ᵰ 记作 故 2. 性质 则有 = ᵰ 2

向量代数与空间解析几何 3.运算律 (1) 交换截.b=b·d (2)至 结合律(u为实数) (d·b=db=λa. (2ò·(ub=d·b=λμ(d.b) (3) 分配律 (@+B).c-a.c+b.c

向量代数与空间解析几何 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律(ᵰ ,ᵰ 为实数) (3) 分配律

向量代数与空间解析几何 2.数量积的坐标表示 设a=axi+aj+az,万=bxi+bj+bz元，则 a:B=(axi+ayj+azk).(bxi+byj+bzk) i.方=jk=尼，i=0 i.i=j:方=尼.飞=1 a.b=axbx ayby azbz

向量代数与空间解析几何 2. 数量积的坐标表示 则

向量代数与空间解析几何 两向量的夹角公式 当a,b为两个非零向量时，1cos0=d·b a.b c0S0= a axbx ayby azbz 、+喝+吃暖+呢+b呢

向量代数与空间解析几何 两向量的夹角公式

向量代数与空间解析几何 例1.己知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求口AB. 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1), A MA·MB 则COS∠AMB= B MA IMEI M 1+0+0 √2，V2 故 亚3

向量代数与空间解析几何 ᵃ ᵄ 例1. 已知三点ᵄ (1,1,1), ᵃ (2,2,1),ᵃ (2,1 ,2), ￾AMB . 解 ᵃ : 则 = 1 2 ᵰ 3 ∠ᵃᵄᵃ = 求 故

向量代效与空间解析几何 基础练习 1.已知三点M0,1,1),A(2,0,1),B(2,1,3),求口AB. 解： MA=(2,-1,0),MB=(2,0,2),A MA MB 则COS∠AMB= B MAIMBI M 4+0+0 V10 V5.22=5 故 ∠A昭 :arccos V10

向量代数与空间解析几何 基础练习 ᵃ ᵄ 1. 已知三点ᵄ (0,1,1), ᵃ (2,0,1),ᵃ (2,1 ,3), ￾AMB . 解 ᵃ : 则 ∠ᵃᵄᵃ = 求 故

向量代数与空间解析几何 例2.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域， 且与该平面域的单位垂直向量的夹角为， 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流 体密度为p). 解：P=pAcos0 为单位向量 pav.n 单位时间内流过的体积 Acos0

向量代数与空间解析几何 例2. 解: 单位时间内流过的体积

向量代数与空间解析几何 3.两向量的向量积 引例.设0为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0 的力下作用在杠杆的P点上，则力下作用在杠杆上的力 矩是一个向量M: M=10Q11F =0P Isine 0P、下、M符合右手规则 0P⊥M FLM 10Q1 JOP]sine

向量代数与空间解析几何 3.两向量的向量积 符合右手规则 ᵄ ᵄ ᵃ ᵰ ᵰ ᵄ ᵄ