《高等数学》课程教学课件（讲稿）10-1-7三重积分的应用

第十章 重积分

重积分 第十章 重 积 分

第七讲 三重积分的应用

重积分 第七讲 三重积分的应用

重积分 1.立体的体积 1.曲顶柱体的顶为连续曲面z=y), (xy)∈D, 则其体积为 v-fG.dxdy 2.占有空间有界域的立体的体积为

重积分 1.立体的体积 1. 曲顶柱体的顶为连续曲面 ᵆ = ᵅ(ᵆ ,ᵆ ), 则其体积为  (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ , 2. 占有空间有界域 ￾的立体的体积为

重积分 22 例1.求曲面S,:z=x+y+1 任一点的切平面与曲面 S2:=x +y 所围立体的体积V. 解：曲面S在点（化oyo,) 的切平面方程为 元=(-2x0,-2y0,1) 2 =2xx+2yay+1-xo-yo 22 它与曲面z=x+y 的交线在xOy面上的投影为 x-x)+y-y,)=1 (记所围域为D)

重积分 ᵄ 1 :ᵆ = ᵆ 2 + ᵆ 2 + 1 任一点的切平面与曲面 ᵄ 2 :ᵆ = ᵆ 2 + ᵆ 2 所围立体的体积 V . 解: 曲面 ᵄ 1 的切平面方程为 ᵆ = 2ᵆ 0 ᵆ + 2ᵆ 0 ᵆ + 1 − ᵆ 2 0 − ᵆ 2 0 它与曲面 ᵆ = ᵆ 2 + ᵆ 2 的交线在 xoy 面上的投影为 (ᵆ − ᵆ 0 ) 2 + (ᵆ − ᵆ 0 ) 2 = 1 (记所围域为D ) ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ,  ᵆ 0 在点 ) 例1. 求曲面

重积分 22 z=2x0x+2y0y+1-x6-y6,2=x+y v=xox+2yoy+1-x02-y02-x2-y2ldxdy =1-P-0-为1dxdy 令x-x=pcos8，y-yo=psin0 =π-ùr29drdg =元-8ayd=

重积分 = ᵰ − = ᵰ − = ᵰ 2 ᵆ = ᵆ 2 + ᵆ 2

重积分 例2.求半径为a的球面与半顶角为a的 内接推面所围成的立体的体积 解：在直角坐标系下球面的方程为 22 22 x +y +(z-a)=a 在球坐标系下球面的方程为 r=2ac0SΦ 在球坐标系下空间立体所占区域为 x=rsinΦcos0 T0≤r≤2acosφ y=rsinφsin0 2:30≤φ≤u 0≤0≤2m dv=r2 sin d0dφdr

重积分 ᵆ ᵅ ᵆ ᵆ 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在直角坐标系下球面的方程为 ᵯ : 0 ≤ ᵱ ≤ ᵯ 0 ≤ᵰ ≤ 2ᵰ ᵄ 在球坐标系下空间立体所占区域为 在球坐标系下球面的方程为 ᵆ 2 + ᵆ 2 + (ᵆ − ᵄ ) 2 = ᵄ 2

重积分 0≤r≤2acosφ 2: 0≤中≤au 0≤0≤2m 在球坐标系下空间立体的体积为 v= dxdydz 2π r2acos中 sin巾d中 r2dr o 16πa3 3 cos3φsinΦd中 4πa3 3 (1-cos4a)

重积分 ᵆ ᵅ ᵆ ᵆ 在球坐标系下空间立体的体积为 ᵯ : 0 ≤ ᵱ ≤ ᵯ 0 ≤ᵰ ≤ 2ᵰ ᵄ

重积分 2.曲面的面积 设光滑曲面S:z=xy),(xy)∈D 则面积A可看成曲面上各点Myz) 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d口则 do y do=cosy·dA 1 coSy= 1+左2(0x,y)+52(x,y) dA=1+(x)+2(y)do (称为面积元素)

重积分 2.曲面的面积 ᵄ ᵆ ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ ᵅ 设光滑曲面 ᵄ :ᵆ = ᵅ(ᵆ ,ᵆ ) , (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ 则面积 A 可看成曲面上各点 ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d￾, (称为面积元素) 则 ᵯ ᵯ

重积分 故有曲面面积公式 1=∬nh+c0+元a)aa 即A=儿1+0+的axdy 若光滑曲面方程为x=gOyz),(Oyz)∈D 则有 1=儿1+的+的a

重积分 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 ᵆ = ᵅ (ᵆ ,ᵆ) , (ᵆ ,ᵆ) ∈ ᵃ ᵆᵆ , 则有 即

重积分 若光滑曲面方程为y=h(),(x)∈D, 则有 4=儿h+0+殷azy 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0, 且F,≠0， 则 =-,=-5 (x,y)E Dxy .A= V2+62+62 IE

重积分 若光滑曲面方程为 ᵆ = ℎ(ᵆ ,ᵆ ) , (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ ᵆᵆ , 若光滑曲面方程为隐式ᵃ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ)=0, 则 则有 ∴ ᵃ = ᵃ ᵆ 且 ≠ 0