《高等数学》课程教学课件（讲稿）7-1微分方程的基本概念1/2

第一讲 主讲人：卢自娟 微分方程的概念

微 分 方 程 第一讲 微分方程的概念 主讲人：卢自娟

微分方程 引例 例1：一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任意一 点M(x,y)处的切线斜率为2x,求这条曲线的方程。 解：设曲线方程为y=f(x), 由题意可知：=2x或dy=2xdx(①， 对（式积分得：y=2xdx=x2+C(I) .曲线过(1,2)点，代入()式得C=1,则得所求曲 线方程为：y=x+1

微 分 方 程 解： 由题意可知： (ᵀᵀ ) ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵽ ᵉ ᵉ = ᵉ ᵽ + ᵼ 引例

微分方程 例2：列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，当制动时列车 获得加速度-0.4m/s2.求列车制动阶段的运动规律？ 解：设求的函数为s=s(t),由题意可知： d2s =-0.4 (I), dt2 对I四式积分得：0.4dt=一0.4t+G1应 对(IV式积分得：s=∫(-0.4t+C1)dt=-0.2t2+C1t+C2(V) 把v(0)=20m/s,s(0)=0,分别代入(IV、(V)得C1=20,C2=0, 则列车制动阶段的运动规律为s=-0.2t2+20t

微 分 方 程 解： 由题意可知： (ᵀᵁ ) (ᵁ )

微分方程 1.微分方程的概念 定义1：含有未知函数的导数（或微分）的方程称 为微分方程。 d2s dy=2xdx(①D, dt2 =-0.4(1I0), 定义2：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数，叫作微分方程的阶

微 分 方 程 1. 微分方程的概念 定义1：含有未知函数的导数（或微分）的方程称 为微分方程。 定义2：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数，叫作微分方程的阶

微分方程 例3：判断下列各方程哪些是微分方程，如果是，求微 分方程的阶数。 方程 微分方程（是或 阶数（若是，回 不是) 答阶数) (1)y+2x=sinx 是 2阶 (2) (y")6 +y""=sinx 是 3阶 (3)dy +2xdx exdx 是 1阶 (4) y+2x=cosx 不是 (5) y5)+y）8=sinx 是 5阶 (6) = sint 是 3阶

微 分 方 程 例3：判断下列各方程哪些是微分方程，如果是，求微 分方程的阶数。 方 程 微分方程（是或 不是） 阶数（若是，回 答阶数） 是 2阶 是 是 3阶 1阶 不是 是 5阶 是 3阶

微分方程 Ⅱ微分方程的解 定义3：如果把一个函数y=f(x)代入微分方程后能 使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 定义4：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意 常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为 微分方程的通解

微 分 方 程 Ⅱ微分方程的解 定义4：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意 常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为 微分方程的通解

微分方程 定义5：确定通解中的任意常数后，所得到的微分 方程的解称为微分方程的特解。 y=x+1 s=-0.2t2+20t y=x+C s=-0.2t2+C1t+C2 初始 曲线过(1,2)点；v(0)=20m/s,s(0)=0. 条件 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初 值问题，求微分方程解的过程称为解微分方程

微 分 方 程 定义5 ：确定通解中的任意常数后，所得到的微分 方程的解称为微分方程的特解。 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初 值问题，求微分方程解的过程称为解微分方程。 曲线过(1,2)点； 初始 条件 ᵉ = ᵉ ᵽ + ᵼ ᵉ = ᵉ ᵽ + ᵆ

微分方程 例4：验证函数x=C1 coskt+C2 sinkt是微分 方程验+k2x=0的解 证明： 求一阶导数： x =-kC sirk +kC,a (1) 求二阶导数： x=-k'C k-k'C (2) 把(2)及x代入原微分方程左边等于右边， 即x为原微分方程的解

微 分 方 程 例4： 求二阶导数: (1) (2) 证明: 求一阶导数: ᵉ ′ = − ᵈ ᵆ ᵼ ᵉᵈᵈᵈᵉ + ᵈ ᵆ ᵽ ᵈᵉᵉᵈᵉ ᵉ ′′ = − ᵈ ᵽ ᵆ ᵼ ᵈᵉᵉᵈᵉ − ᵈ ᵽ ᵆ ᵽ ᵉᵈᵈᵈᵉ

微分方程 例5：下列函数是给定微分方程的解，判断是特 解还是通解。 40y-2x=0,y=写+c1x+2 3 (2)y"-2y'+y=0,y=Cixe-x+Cze-x (3)y+y=0,y=e-x (4)y+2x=0,y=-x2+2 答：(2)所给的解是通解，(3)，(4)所给的解是特解

微 分 方 程 例5： 下列函数是给定微分方程的解，判断是特 解还是通解。 答:(2)所给的解是通解， (3),(4)所给的解是特解

微分方程 课堂小结 1.微分方程的概念 2.微分方程的阶： 3.微分方程的解

微 分 方 程 课堂小结 1. 微分方程的概念； 2. 微分方程的阶； 3. 微分方程的解