《高等数学》课程教学课件（讲稿）7-3一阶线性微分方程

微 分 方 程

第三讲 主讲人：卢自娟 阶线性微分方程

微 分 方 程 第三讲 一阶线性微分方程 主讲人：卢自娟

微分方程 1.一阶线性微分方程的形式 形如： +P()y=Q(x) 的微分方程称为一阶线性微分方程 Q(x)≠0时，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 票+P(x)y=0的微分方程称为一阶线性齐次微分方程

微 分 方 程 1.一阶线性微分方程的形式 形如： 的微分方程称为一阶线性微分方程

常分方程 2.一阶线性微分方程的解法 定义1：形如=f(x)90y)的微分方程称为可离 变量的微分方程。 齐次的：器+P(xy=0 解法： (1)变量分离 =-P(x)dx 2 (2)两边同时积分 ∫g=-∫p(x)dx→nly=-∫p(x)dx →y=CeJP()dx(C≠0)

微 分 方 程 2.一阶线性微分方程的解法 齐次的： 解法： (1)变量分离 (2)两边同时积分

微分方程 例1：求一阶线性齐次微分方程y一=0的通侧 x+1 解： 把P()=-,代入 y=Ce-∫P()dx 得 y=Ce2/d=C e2in lx+il =C(x+1)2 或： dx x+1 →lnly|=2lnlx+1+C1→lyl=ec1(x+1)2 →y=C(x+1)2

微 分 方 程 例1： 解: 得 或：

微分方程 2.一阶线性微分方程的解法 非客次的解法（堂数恋具法） 竖+Pwy=Q☑ y=C(x)e-fP(x)dx y=C'(x)e-JP(dx-P(x)C(x)e-JPQ)dx Cee-Py斤rau+P =Q(x) C'(x)e-JP()dx =Q(x)C(x)=efP()dx Q(x)

微 分 方 程 2.一阶线性微分方程的解法 非齐次的解法（常数变易法）： 解法： 积分 (3)通解为

微分方程 5 例2.求微分方程y-义=(x+1)2的通解。 x+1 解：由例1可知对应齐次方程的通解为y=C(x+1)2 常数变易 y=C(x)(x+1)2U 得 C(x)(x+1)2=(x+1)2 c(x)=∫(x+1)2dx=(x+1)2+C 所求通解为y=(x+1)2[(x+1)2+C] C为任意常数

微 分 方 程 解: 常数变易 得 所求通解为

常分方程 例3.求微分方程x2dy+(2xy-x+1)dx=0 满足初始条件y儿x=1=0的特解。 解： 原方程可化为 P(w)=号 Q= 代入通解公式 y=e-P(dx[Q(x)eP(dxdx+C]

微 分 方 程 例3. 解: 原方程可化为 代入通解公式

微分方程 得 y=edx+C] y=e-imxelnx+C] e-im elnx2=x2 1+G 由礼初如欢ty=一v可得常数C= 原方程的特解为： y= -1+1 x 2x2

微 分 方 程 原方程的特解为： 得

常分方程 3.伯努利方程 形如 +P(x)y=Q(x)y" (n≠0,1) 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程. 解法：方程变形为y"是+P(xy1-n=Q() 令y1-1=z器=(1-m)y"票把方程变为 +(1-m)P(xz=(1-mQ) 使用一阶线性微分方程得解法即可

微 分 方 程 3.伯努利方程 形如 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程. 解法：方程变形为 使用一阶线性微分方程得解法即可