《高等数学》课程教学课件（讲稿）11-1-6对坐标曲面的积分

第十一章 曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分

第六讲 树坐标曲面的积分

曲线积分与曲面积分 第六讲 对坐标曲面的积分

曲线积分与曲面积分 1.有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面 曲面分类 单侧曲面 曲面分内侧和外侧 单侧曲面 曲面分左侧和右侧 曲面分上侧和下侧

曲线积分与曲面积分 1.有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 曲面分内侧和外侧 单侧曲面 曲面分左侧和右侧 曲面分上侧和下侧

曲线积分与曲面积分 •指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向 表示： 方向余弦 cos a cosβ cosy 封闭曲面 外侧 侧的规定 >0为前侧>0为右侧0为上侧 <0为后侧<0为左侧<0为下侧内侧

曲线积分与曲面积分 其方向用法向量指向 方向余弦 > 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :

曲线积分与曲面积分 ·设为有向曲面，其面元△S在xoy面上的投影记为 (4Sy,(4S)y的面积为(4o)y≥0，则规定 当cosy>0时 类似可规定 -(A6）y,当cosy<0时 (4S)z,(4Sx 0,当cosy≡0时

曲线积分与曲面积分 • 设 ￾为有向曲面, (ᵮ ᵄ ) ᵆᵆ , ᵮ ᵄ (ᵮ ᵄ ) ᵆᵆ = 其面元 (ᵮ ᵰ ) ᵆᵆ ≥ 0, (ᵮ ᵄ ) ᵆᵆ 的面积为 则规定 (ᵮ ᵰ ) ᵆᵆ , − (ᵮ ᵰ ) ᵆᵆ , 0 , 类似可规定 (ᵮ ᵄ ) ᵆᵆ , (ᵮ ᵄ ) ᵆᵆ

曲线积分与曲面积分 2.对坐标的曲面积分的概念 引例1.设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,Z)) 求单位时间流过有向曲面的流量口 分析：若是面积为S的平面， 法向量：n=(cos,cosB,cosY) 流速为常向量： 则流量Φ=S.训cos0 =S市.n

曲线积分与曲面积分 2.对坐标的曲面积分的概念 引例1. 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 ￾的流量￾. 分析: 若 ￾是面积为S 的平面, 则流量 ᵯ = 法向量: 流速为常向量:

曲线积分与曲面积分 对一般的有向曲面口对稳定流动的不可压缩流体的 速度场)=(P(x,y,Z),Q(x,y,Z),R(x,y,Z) 用“大化小常代变，近似和，取极限 进行分析可得中=im ☑i;AS λ→0 设i:=(cos ai,cosB:,cos Yi),则 [P)cos()cosB+R()cosY:]S =im〉[P(5,n,i)(AS)yz+Q(店，5(4Sx+R店，54S）y】 入→0 i=1

曲线积分与曲面积分 对一般的有向曲面￾, 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限 ” ᵯ = + ᵄ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ )(ᵮ ᵄ ᵅ ) ᵆᵆ + ᵄ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ )(ᵮ ᵄ ᵅ ) ᵆᵆ ] ᵮ ᵄ ᵅ 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 ᵯ , 则

曲线积分与曲面积分 2.定义.设为光滑的有向曲面，在上定义了一个 向量场A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),若对的任 意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在 P5++R(S) 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分，或第二类曲面积分.记作 dx [Pdydz+Qdzdx+Rdxdy →dz P,Q,R叫做被积函数；叫做积分曲面， R

曲线积分与曲面积分 设 ￾为光滑的有向曲面, 在 ￾上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, + ᵄ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ )(ᵮ ᵄ ᵅ ) ᵆᵆ 分, 记作 ￾叫做积分曲面. + ᵄ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ )(ᵮ ᵄ ᵅ ) ᵆᵆ ] 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 ᵄ ᵄ ᵄ 若对￾的任 2. 定义

曲线积分与曲面积分 ,pdydz称为P在有向曲面2上对yz的曲面积分 [.儿Qdzdxi称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分， 厂Rdxdy称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 引例中，流过有向曲面的流体的流量为 中=∬Pdydz+-Qdzdx+Rdxdy 若记正侧的单位法向量为 i=(cosa,cosβ，cosY) 令d下=ids=(dydz,dzdx,dxdy) A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式

曲线积分与曲面积分 引例中, 流过有向曲面 ￾的流体的流量为 若记 ￾正侧的单位法向量为 令 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式