《高等数学》课程教学课件（讲稿）8.1-9空间曲线

第九讲 空间曲线

向量代数与空间解析几何 第九讲 空间曲线

向量代数与空间解析几何 1、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,Z)=0 G(x,y,z)=0 S2 G(XZ)= F(Z)=0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C

向量代数与空间解析几何 1、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 ᵃ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) = 0 ᵃ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) = 0 ᵆ ᵆ ᵆ 1 C

向量代数与空间解析几何 又如，方程组 z=a2-x2-y2 x2+y2-ax=0 表示上半球面与圆柱面的交线C. ay

向量代数与空间解析几何 又如,方程组 ᵆ ᵆ ᵆ ᵄ

向量代数与空间解析几何 2.空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数： x=x(t) y=y(t) 称它为空间曲线的参数方程 z=2(t) 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 M X y

向量代数与空间解析几何 2.空间曲线的参数方程 称它为空间曲线的参数方程. ᵆ = ᵆ (ᵆ) ᵆ = ᵆ (ᵆ) ᵆ = ᵆ (ᵆ) 例如,圆柱螺旋线的参数方程为 ᵆ ᵆ ᵆ ᵰ ᵄ

向量代数与空间解析几何 x =acoswt y=asinwt 令0=wt,b=y 0) x=acos0 之=t a sin0 个之 z=b0 上升高度h=2πb,称为螺距 M X y

向量代数与空间解析几何 令ᵰ =ᵱ ᵆ ,ᵄ = ᵆ ᵱ ℎ = 2ᵰ ᵄ ᵆ = ᵆᵆ    上升高度 , 称为螺距 . ᵆ ᵆ ᵆ ᵰ ℎ ᵄ

向量代数与空间解析几何 例1.将下列曲线化为参数方程表示： (1) x2+y2=1 2x+3z=6 解：(1根据第一方程引入参数，得所求为 x=cost y=sint (0≤t≤2π) 1 z=3(6-2c0st)

向量代数与空间解析几何 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为 (0 ≤ ᵆ ≤ 2ᵰ )

向量代数与空间解析几何 例2.求空间曲线 X=φ(t) ▣ y=(t) (a≤t≤) 绕z轴旋转 之=ω(t) 时的旋转曲面方程. 解：任取点M,(Φ(t)(t)w(t)∈T,点M1绕z轴旋转 转过角度后到点M(Xy),则 x=Vφ2(t)+ψ2(t)c0s0 &st≤B y=VΦ2(t)+ψ2(t)sin0 0≤0≤2π 之=ω(t) 这就是旋转曲面满足的参数方程

向量代数与空间解析几何 例2. 求空间曲线 ￾: ᵆ = ᵱ (ᵆ) ᵆ = ᵱ (ᵆ) ᵆ = ᵱ (ᵆ) (ᵯ ≤ ᵆ ≤ ᵯ ) 时的旋转曲面方程 . 解: 任取点ᵄ 1 (ᵱ (ᵆ),ᵱ (ᵆ),ᵱ (ᵆ)) ∈ ᵮ , 转过角度￾后到点 ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ), 则 ᵆ = ᵱ (ᵆ) 这就是旋转曲面满足的参数方程

向量代数与空间解析几何 x=asinΦ 又如，XOz面上的半圆周 y=0 (0≤中≤π) z=ac0S中 绕z轴旋转所得旋转曲面（即球面）方程为 x=asinφcos0 0≤中≤π y=asinφsing \0≤0≤2π z=ac0sΦ 说明：一般曲面的参数方程含两个参数，形如 x=x(st) y=y(st) z=2(S)

向量代数与空间解析几何 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周 ᵆ = 0 (0 ≤ ᵱ ≤ ᵰ ) 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 ᵆ = ᵆ (ᵆ,ᵆ) ᵆ = ᵆ (ᵆ,ᵆ) ᵆ = ᵆ (ᵆ,ᵆ)

向量代数与空间解析几何 3.空间曲线在坐标面上的投影 F(x,y,Z)=0 设空间曲线C的一般方程为G(x,y,z)=0 消去z得投影柱面H(xy)=0, 则C在xoy面上的投影曲线C'为 H(x,y)=0 1z=0 消去x得c在yoz上的投影曲线方程 R(y,Z)=0 0x=0 T(x,z)=0 消去y得c在zox面上的投影曲线方程 y=0

向量代数与空间解析几何 3.空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 ᵃ (ᵆ ,ᵆ ) = 0, ᵆ ᵆ ᵆ ᵃ ′

向量代数与空间解析几何 例如， x2+y2+z2=1 x2+y-1)2+(z-1)2=1 在xoy面上的投影曲线方程为 x2+2y2-2y=0 Z=0

向量代数与空间解析几何 ᵆ ᵆ ᵆ 例如