《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-4-1函数展开成幂级数

第五讲 函数展开成幂级数

无 穷 级 数 第五讲 函数展开成幂级数

无穷级数 1.泰勒公式 定义1.若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在该邻 域内有f)=f(xo)+f'(xo)(x-o)+f"C 21 2x-xo)2+ +fx-x+R.因 n! 此公式称为n阶泰勒公式： Rw=f+1( (n+1)! (x-o)m+1 (介于x与x之间) 称为拉格朗日余项

无 穷 级 数 1.泰勒公式 （ᵴ 介于ᵉ ᵼ与ᵉ 之间） 称为拉格朗日余项

无穷级数 2.泰勒级数 定义2.若函数f(x)在x,的某邻域内具有任意阶导数，则称公式 f=f0+fox-0+"026x-o2+ +ox-o+ 为泰勒级数

无 穷 级 数 2.泰勒级数 为泰勒级数

无穷级敛 3.麦克劳林级数 定义3.若函数f(x)在xo=0的某邻域内具有任意阶导数，则称公式 f=fo)+fox+f0++o0+ 为麦克劳林级数

无 穷 级 数 3.麦克劳林级数 为麦克劳林级数

无穷级数 定理1.设函数f(x)在xo的某邻域U(xo)内具有各阶导数，则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项满足limR(x)=0. n→0o 定理2.若函数f(x)能展开成x的幂级数，则这种展开式唯一， 且与它的麦克劳林级数相同

无 穷 级 数

无穷级数 4.几种常见的麦克劳林级数 00 e=1+++.+品”+=器 n0 mx=-司+司++ x2n+1+ +4++2+ cosx-1-1 x∈(-∞，+∞)

无 穷 级 数 4.几种常见的麦克劳林级数 ᵉ ∈(− ∞, + ∞)

无穷级数 举例 例1.将函数f(x)=(1+x)m展开成x的幂级数， 其中m为任意常数 解：f'(x)=m(1+x)m-1, f'(x)=m(m-1)(1+x)m-2, f"(x)=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 f4)(x)=m(m-1)(m-2)(m-3)(1+x)m-4 fm(x)=m(m-1).(m-n+1)(1+x)m-n

无 穷 级 数 举例

无穷级数 f(0)=1,f'(0)=m f"(0)=m(m-1), f(0)=m(m-1)(m-2) f4(0)=m(m-1)(m-2)(m-3) fm)(0)=m(m-1).(m-n+1) x∈(-11) （1+m=1+mx+监gx2+.+m-mD

无 穷 级 数 ᵈ ′′′ (ᵼ ) = ᵈ (ᵈ − ᵼ )(ᵈ − ᵽ ) ᵉ ∈ ( − ᵼ ,ᵼ )

无穷级数 举例 例2.将下列函数展开成x的幂级数. 11x21·3x3 1·3·5x4 (1)V1+x=1+2x-42:+8 3！ 16 4! x∈[-11] ②1 1 1·3x21·3.5x3 1·3.5.6x4 2x+ 4.2！ 8 3! 164 x∈(-11]

无 穷 级 数 举例 ᵉ ∈ [ − ᵼ ,ᵼ ] ᵉ ∈ ( − ᵼ ,ᵼ ]

无穷级数 课堂小结 1.泰勒公式 2.泰勒级数 3.麦克劳林级数 4.几种常见的麦克劳林级数

无 穷 级 数 课 堂 小 结 1.泰勒公式 2.泰勒级数 3.麦克劳林级数 4.几种常见的麦克劳林级数