《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-4-3函数展开成幂级数的应用

第七讲 函数展开成幂级数的应用

无 穷 级 数 第七讲 函数展开成幂级数的应用

无穷级数 1.幂级数在近似计算中的应用 lm(1+x)=x- .(-1)nxn+1 2+.+ n+1 —+.(-1<x≤1) x2 n(1-x)=-x-1 . xn+1 n+1+.(-1≤x<1) x∈(-11) (1+x)m m(m-x2+.+ m(m-1).(m-n+1) =1+mx+ xn 2! n! 十

无 穷 级 数 1.幂级数在近似计算中的应用 ᵉ ∈ ( − ᵼ ,ᵼ )

无穷级数 e-1tx+安+.++.- 1 n=0 sinx=x- +4+a 1 cosx=1- +0++2m+ 1 x∈(-∞，+∞)

无 穷 级 数 ᵉ ∈(− ∞, + ∞)

无穷级数 举例 例1.计算f(x)=240的近似值，精确到10-4. 解：240=8V35-3=3(1-345 11 1141 4.9 1 =3(1- 534-5221.38-5331.31z 一.) 4 r2l=3( 1 4.91 4.9.141 2!.38+ 5331:312+ 53 4!.316+.) 4 1 <3· 522!.38 V2 0=31-动)=2926

无 穷 级 数 举例 解：

无穷级数 举例 例2.计算ln2的近似值，精确到10~4， 解：ln(1+x)=x- (-1)nxn+1 +.(-1<x≤1) n+1 x2 xn+1 ln(1-x)=-x 2 n+1+.(-1≤x<1) 1+x m 1-x In|1+x-In1-x x3 x5 =2(x+ 3+5+.+.)-1<x<1) 令x=代入上式得： 11 2 ,1 1 Ln2= 34 535+737.）

无 穷 级 数 举例 解：

无穷级数 在上述展开式中取前四项： 1 1 .11 4=2(3‘113+133+.) <2品+日+）品， 78732≈0.2×10 Ln2≈2 ++写+73 ≈0.6931

无 穷 级 数 在上述展开式中取前四项:

无穷级数 举例 例4，将u1幂级数展开式的应用。 1+x 3 ,x5 解：m1王=2(x+3+5++.)-1<x<1) 2n+,n∈Z代入上式得： 令x=21 1-a+1+(2n++g(2n+°+） mn+D=m+2zn1+号(n'+号(2n子i°+） 具此递推公式可求出任意正整数的对数

无 穷 级 数 举例 解： 具此递推公式可求出任意正整数的对数

无穷级数 举例 例5.利用snxx一二求9的近以值并估计 误差 解：sin90=sin(90., π 01800)=sim20 π π /π 3 sin20≈20320 ≈0.15643 1/ r2l<5·(20 2×105 误差不超过10-5

无 穷 级 数 举例 解：

无穷级数 举例 例6.计算积分 fe-x2 dx的近似值，精确到10-4. (取2≈0.56419) e2-) 00 解： n! n=0 00 00 2 √元J0 e-xdx= 2 (-1)m Vπ ca n n! x2n dx n=00 00 2 (-1)m 1 V元L n!(2n+1)·22n+1 =0 欲使截断误差|rnl< 2 v元n(2n+1)-22m+<10-4

无 穷 级 数 举例 解：

无穷级数 则n应满足V元·n!(2n+1)·22n>104. 取n=4,应满足v元·n!(2n+1)·22n>104. 则所求积分近似值为： 2axa-2a+52o7 ≈05☒5

无 穷 级 数 则所求积分近似值为： ≈ ᵼ .ᵽᵽᵼᵽ