《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-5-3傅里叶级数的计算2/3周期延拓

第三讲 傅里叶级数的计算

无 穷 级 数 第三讲 傅里叶级数的计算

无穷级数 1.周期延拓 定义在[-元，π]上的函数f(x)的傅氏级数展开法 f(x),x∈[-π，π] 周期延拓 「f(x),x∈[-π，π) 「f(x),x∈（-π，π] F(x) c-2km, 或F(x) Lf(x-2kπ)，其它 傅里叶展开 f(x)在[-π，π]上的傅氏级数

无 穷 级 数 1. 周期延拓 周期延拓 或 傅里叶展开

无穷级数 举例 ∫-x,-π≤x<0展成傅里叶级数， 例1：将函数f(,=x0≤x<π 解：将f(x)延拓成以2π为周期的函数F(x),则 a=是」nf()dx=是xdx-是」nxdx=元 an=是∫nfx)cosnxdx =是0 xcosnxdx-是∫.xcosnxdx

无 穷 级 数 举例 ᵰ ᵰ ᵆ ᵆ

无穷级数 r xdsinnx nπJ oxdsinnx-1 o nπJ-办 xsinnx6+.cosnx6-高cosnx nn 1=n=2k-1 kEz. n2π 0,n=2k bn=∫nf(x)sinnxdx =是xsinnxdx-是∫0 xsinnxdx xcosnxxcosnx =0

无 穷 级 数 = ᵼ

无穷级数 -4 f(x)= 2+ 2n-1)2元cos(2n-1)x,(xe[-m,m) 取x=0级数收敛于0，则有 1 111 、 2m+=1+京京+京+ 8 2 00 、>2三1× 11 22 1 32 而+ =o解得o= 8 6 00 (-1)n+1 111 π2π2π2 2 一1 22十32-42+.= 82412 =1

无 穷 级 数

无穷级数 2.正弦级数与余弦级数 定理1：设f(x)是周期为2π的奇函数，其傅里叶级数为 正弦函数，它的傅里叶系数为 an=0, n=0,1,2. b,simnxd，此ne23 设f(x)是周期为2π的偶函数，其傅里叶级数为 余弦函数，它的傅里叶系数为 ran=是fx)cosnxdx, n=0,1,2,3. Lbn=0, n=1,2,3

无 穷 级 数 2.正弦级数与余弦级数

无穷级数 举例 例2：将周期为2π的函数f(x)=x(x∈[-π，π) 展开成傅里叶级数. 解：若不计x=(2k+1)π，k∈Z,则f(x)是周期为2π的 奇函数. an=0n=0,1,2. , baxsinnxdx =-品xdcosnx=-xcosnx+ sinnx nπ nπ xcOSRx|6=(-1)m+1员 n=1,2,3

无 穷 级 数 举例 − ᵰ ᵰ ᵆ ᵆ ᵅ

无穷级数 根据收敛定理可得f(x)的正弦级数： =-na =2rn2x+n3x-知4r+） (x≠(2n+1)π，n∈Z;x∈R) 在[-π，π上级数的 部分和逼近f(x)的情况

无 穷 级 数 = ᵽ (ᵉᵈᵈᵉ − ᵼ ᵽ ᵉᵈᵈ ᵽ ᵉ + ᵼ ᵽ ᵉᵈᵈ ᵽ ᵉ − ᵼ ᵽ ᵉᵈᵈ ᵽ ᵉ + .) − ᵰ ᵰ ᵆ ᵆ ᵅ

无穷级数 举例 例3：将周期函数f(x)=|Esint展开成 傅里叶级数.其中E为正常数。 解：u(t)是周期为2π的偶函数 an=20 Esinidt=号 a=是0 Esinteosntdt sin(n+Dt-sin(n-D)ldt

无 穷 级 数 举例 − 2 ᵰ ᵆ ᵅ ᵰ ᵆ ᵰ − ᵰ 2

无穷级数 an =sin(n+1)t-sin(n-1)tldt E 4E 4n=2k,k=1,23 0, n=2k+1 a1=是0sin2tdt=0 00 u(t)= 2E 4E 1 π 4k2-1c0s2kt,tER k=1

无 穷 级 数