《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）2-2-2初等函数2

解析函数

解 析 函 数

第五讲 初等函数之对数函数

第五讲 初等函数之对数函数

初等函数 1.对数函数 定义1：对于z≠0，满足z=ew的函数，则把w=f(z)称 为对数函数，记作Lnz。 令z=rei8,w=u+iw, z=reie ew eutiv,r zl r e",u Inr Inzl, =0+2kπ=Argz,keZ w=Lnz In|z+iArgz,z#0 多值函数， 主值：lnz=lnlz+iargz.单值函数。 w=Lnz=lnz+2kπi,k∈z

初等函数 1.对数函数 定义1：对于𝒛 ≠ 𝟎,满足𝐳 = 𝒆 𝒘的函数，则把𝒘 = 𝒇(𝒛)称 为对数函数,记作 𝑳𝒏𝒛 。 令𝒛 = 𝒓𝒆 𝒊𝜽 , 𝒘 = 𝒖 + 𝒊𝒗, 𝐳 = 𝒓𝒆 𝒊𝜽 = 𝒆 𝒘 = 𝒆 𝒖+𝒊𝒗 , 𝒓 = |𝒛| 𝒓 = 𝒆 𝒖 , 𝒖 = 𝒍𝒏𝒓 = 𝒍𝒏|𝒛|, 𝒗 = 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝑨𝒓𝒈𝒛, 𝒌𝝐𝒁 𝒘 = 𝑳𝒏𝒛 = 𝒍𝒏|𝒛| + 𝒊 𝑨𝒓𝒈𝒛 , 𝒛 ≠ 𝟎 主值：𝒍𝒏𝒛 = 𝒍𝒏 𝒛 + 𝒊𝒂𝒓𝒈𝒛 . 多值函数. 单值函数。 𝒘 = 𝑳𝒏𝒛 = 𝒍𝒏𝒛 + 𝟐𝒌𝝅𝒊, 𝒌 ∈ 𝒛

举例 例1：求Ln2,Ln(-1)以及其主值。 解： (1)Ln2=ln2+2kπi In2 In 2 +i0 In2 (2)Ln(-1)=ln(-1)+2kπi ln(-1)=lnl-1|+iπ=iπ Ln(-1)=πi+2kπi=(1+2k)πi,k∈Z

例1：求𝑳𝒏𝟐, 𝑳𝒏(−𝟏)以及其主值。 解： （1）𝑳𝒏𝟐=𝒍𝒏𝟐 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 （𝟐）𝑳𝒏(−𝟏)=𝒍𝒏 −𝟏 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 举例 𝒍𝒏𝟐 = 𝒍𝒏|𝟐| + 𝒊𝟎 = 𝒍𝒏𝟐 𝒍𝒏 −𝟏 = 𝒍𝒏 −𝟏 + 𝒊𝝅 = 𝒊𝝅 𝑳𝒏(−𝟏)=𝝅𝒊 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 = 𝟏 + 𝟐𝒌 𝝅𝒊, 𝒌 ∈ 𝒁

举例 例2：求Lni,ln(2-3i),Ln(-2+3i)。 解： (1)Lni=lni+2kπi lni=lml训+i=i Lni=i+2kπi=(2k+)πi,kez (2)In(2-3)=Inl2-3il+iarctan Inv13 iarctanz 3

例2：求𝑳𝒏𝒊,𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒊 , 𝑳𝒏(−𝟐 + 𝟑𝒊)。 解： （1）𝑳𝒏𝒊=𝒍𝒏𝒊 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 （𝟐） 举例 𝒍𝒏𝒊 = 𝒍𝒏|𝒊| + 𝒊 𝝅 𝟐 = 𝒊 𝝅 𝟐 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒊 = 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒊 + 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (−𝟑) 𝟐 𝑳𝒏𝒊 = 𝒊 𝝅 𝟐 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 = 𝟐𝒌 + 𝟏 𝟐 𝝅𝒊, 𝒌𝝐𝒁 = 𝒍𝒏 𝟏𝟑 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐

(3)Ln(-2+3i)=ln(-2+3i)+2kπi In(-2+31)=In-2+3il ni+iarctan(2 3 =nV13+πi-iarctan2 3 Ln(-2+31)-Inv13+ni-iarctan+2kni 3 Ln3+π(1+2k)-icta =安a3+am1+2的-at 3 i,keZ

𝟑 𝑳𝒏 −𝟐 + 𝟑𝒊 = 𝒍𝒏 −𝟐 + 𝟑𝒊 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 𝒍𝒏 −𝟐 + 𝟑𝒊 = 𝒍𝒏 −𝟐 + 𝟑𝒊 + 𝝅𝒊 + 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 (−𝟐) = 𝒍𝒏 𝟏𝟑 + 𝝅𝒊 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 𝑳𝒏 −𝟐 + 𝟑𝒊 = 𝒍𝒏 𝟏𝟑 + 𝝅𝒊 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟑 + 𝝅(𝟏 + 𝟐𝒌)𝒊 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟑 + 𝝅 𝟏 + 𝟐𝒌 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐 𝒊, 𝒌𝝐𝒁

对数函数的性质 (1)运算法则：Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2- Ln2=Lnz1-Lnz2 Z2 但Lnzn=nLnz,(n∈Z,n>1,)不在成立： (2)nz=2, lnz在复平面上z>0,-π<argz<π内解析。 即lnz在除去原点及复实轴的平面内解析。 Lnz的各分支在除去原点及复实轴的平面内解析

对数函数的性质 （1）运算法则：𝐋𝒏(𝒛𝟏𝒛𝟐) = 𝑳𝒏𝒛𝟏+𝑳𝒏𝒛𝟐. （2） (𝒍𝒏z) ′ = 𝟏 𝒛 ， 即𝒍𝒏𝒛在除去原点及复实轴的平面内解析。 𝑳𝒏 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝑳𝒏𝒛𝟏 − 𝑳𝒏𝒛𝟐 , 𝒍𝒏𝒛在复平面上{|𝒛| > 𝟎, −𝝅 𝟏, )不在成立

基础练习 1:计算Ln(-3+4i)的值。 解： Ln(-3+4i)=ln(-3+4i)+2kπi 4 In(-3 +4i)=In|-3+4i+ni-iarctan 3 4 =ln5+πi-iarctan3 4 Ln(-3+4i)=In5+mi-iarctan+2kni In5+(1+2k)n-arctani,ke Z

基础练习 1：计算𝑳𝒏(−𝟑 + 𝟒𝒊) 的值。 解： 𝑳𝒏(−𝟑 + 𝟒𝒊) = 𝒍𝒏(−𝟑 + 𝟒𝒊) + 𝟐𝒌𝝅𝒊 𝒍 𝒏 −𝟑 + 𝟒𝒊 = 𝒍 𝒏 | − 𝟑 + 𝟒𝒊| + 𝝅𝒊 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝟑 = 𝒍 𝒏 𝟓 + 𝝅𝒊 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝟑 𝑳𝒏 −𝟑 + 𝟒𝒊 = 𝒍 𝒏 𝟓 + 𝝅𝒊 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝟑 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 = 𝒍 𝒏 𝟓 + 𝟏 + 𝟐𝒌 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝟑 𝒊 ,k∈ 𝒁

基础练习 2:解方程1nz=. enz=e爱 元 cos+isin? z=0+i z=i

2：解方程𝒍𝒏𝒛 = 𝝅 𝟐 𝒊 。 𝒆 𝒍𝒏𝒛 = 𝒆 𝝅 𝟐 𝒊 = 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 𝒛 = 𝟎 + 𝒊 𝒛 = 𝒊 基础练习

工作人员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 张晗

工 作 人 员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 张 晗