《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）8-3-4傅里叶变换的应用

傅里叶变换

傅里叶变换

第八讲 卷积与 傅里叶变换的应用

第八讲 卷积与 傅里叶变换的应用

1.傅里叶变换的综合应用来 定义设实值函数f1(t)与f2(t)在(-oo,+oo)内有定义。 若反常积分∫f1(x)f2(t-)dx对任何实数t收敛，则它 定义了一个自变量为t的函数，称此函数为f1(t)与f2(t)的 卷积，即f1(t)*f2(t)=f1()f2(t-t)dr

1.傅里叶变换的综合应用

卷积性质： f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t) f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]+f1(t)*f3(t)

卷积性质：

卷积定理： 设F1(w)=F[f1(t)],F1(w)=F[f2(t)],则有 ①F[f1(t)*f2(t)]=F1(ω)·F2(ω) ②Pf1(·f2()=2元F1(ω)*F2(ω)

卷积定理：

举例 例1、如果f(t)是以T为周期的实值函数，且在 [一1上满足狄氏条件，证明 red=ΣmoP =-00 其中，ùg=,F(nwo)为f(d)的离散频腊。 证：因为f(t)的傅里叶展开式为 +00 f(t)= ∑ F(nw)einwot n=-00

举例

2 1 2 F(n@o) 1 F(nwo)=TJ f(t)emnootdt roat-foΣFnoge'an 、1rT =∑rmwn)7 T 00 =∑r0o)Fmo=∑IF(Rwo)P 十00

举例 例2、设f(t)是定义在(-∞，+o)上的实值函 数，且存在傅氏变换F(ω)=F[f(t)], 证明：leda=”re'da 证：由 F(w)=FIf(t)]=f(t)e-jot dt F-ω)=Ff(t=∫f(t)ejot dt=-F(ω) 。d=6aaaw lωl =2eod=j”aedw

举例 证：由 证明： ᵉ = − ᵴ

举例 例3.试证明：号 04+4 coswtdw =e-tcost 证：因为F(ω)=∫e-coste-jwtdt =e-tcost e-jdt+foecoste-jwdt =ecostedt+∫°cost(-0d(-t) e-tcoste-jtdtecostdt -∫we-tu()costedt+∫etu(e)dt

举例 例3.试证明： 证：因为

F1(w)=e-tu(t)coste-jotdt, F(w)=F1(w)+F1(ω)=2ReF1(ω) F1()=ReF,(@ 1+j@ 4+04 F(ω)=2.2+w2 注意ejot 4+w4 在对称区 F()) 间的积分 4+u4cosωtdw f(t)=e-ilcost