《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）8-3-3卷积计算傅里叶变换的应用

傅里叶变换

傅里叶变换

第七讲 卷积

第七讲 卷 积

1.卷积 定义设实值函数f1(t)与f2(t)在(-oo,+∞)内有定义。 若反常积分∫f1(x)f2(t-)dx对任何实数t收敛，则它 定义了一个自变量为t的函数，称此函数为f1(t)与f2(t)的 卷积，即f1(t)*f2(t)=f1()f2(t-t)dr

1.卷积 定义 设实值函数𝒇𝟏 𝒕 与𝒇𝟐 𝒕 在 −∞, +∞ 内有定义。 ∞−׬若反常积分 +∞ 𝒇𝟏 𝝉 𝒇𝟐 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉对任何实数𝒕收敛，则它 定义了一个自变量为𝒕的函数，称此函数为𝒇𝟏 𝒕 与𝒇𝟐 𝒕 的 卷积，即𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 = ׬∞− +∞ 𝒇𝟏 𝝉 𝒇𝟐 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉

卷积性质： f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t) f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]+f1(t)*f3(t)

卷积性质： 𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 = 𝒇𝟐 𝒕 ∗ 𝒇𝟏 𝒕 𝒇𝟏 𝒕 ∗ [𝒇𝟐 𝒕 ∗ 𝒇𝟑 𝒕 ] = [𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 ] ∗ 𝒇𝟑(𝒕) 𝒇𝟏 𝒕 ∗ [𝒇𝟐 𝒕 + 𝒇𝟑 𝒕 ] = [𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 ] + 𝒇𝟏(𝒕) ∗ 𝒇𝟑(𝒕)

举例 例1.求下列函数的卷积： fo=e0.9e-e0a” 其中a>0,B>0且a≠B. 00 解：f(t)*g()=f(mg(t-t)d红 ①t<0,g(t-t)=0,f(t)*g(t)=0

举例 例1. 求下列函数的卷积： 𝒇 𝒕 = ቊ 𝒆 −𝒂𝒕 , 𝒕 ≥ 𝟎 𝟎, 𝒕 𝟎,𝜷 > 𝟎且𝜶 ≠ 𝜷. 解： 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = න −∞ +∞ 𝒇 𝝉 𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 ①𝒕 < 𝟎,𝒈 𝒕 − 𝝉 = 𝟎, 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = 𝟎

②t≥0，f(t)*g(t)=∫bf(t)g(t-t)dπ e-naeme d eat-eBt B-a B-a 0, t<0 f(t)g=e-a-e B-a -,t≥0

��׬ = �� �� ∗ �� ��,�� ≤ ��2 𝒕 𝒇 𝝉 𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 = න 𝟎 𝒕 𝒆 −𝒂𝝉𝒆 −𝜷(𝒕−𝝉)𝒅𝝉 = න 𝟎 𝒕 𝒆 −𝜷𝒕𝒆 𝜷−𝒂 𝝉 𝒅 𝝉 = 𝒆 −𝜷𝒕 𝒆 (𝜷−𝒂) ฬ 𝒕 𝟎 𝜷 − 𝒂 = 𝒆 −𝒂𝒕 − 𝒆 −𝜷𝒕 𝜷 − 𝒂 , 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = ൞ 𝟎, 𝒕 < 𝟎 𝒆 −𝒂𝒕 − 𝒆 −𝜷𝒕 𝜷 − 𝒂 , 𝒕 ≥ 𝟎

举例 例2.求下列函数的卷积： f=2u,g0=1l≤1 Γ0，ltl>11 解：f)*gd=g(o)ft-)dr ①t<-1,f(t-)=0,f(t)*g(t)=0 ②1≥t≥-1，f(t)*g(t)=∫1(t-)2dm (r-3直1-4+o3 3 3

举例 例2. 求下列函数的卷积： 𝒇 𝒕 = 𝒕 𝟐𝒖(𝒕), 𝒈 𝒕 = ቊ 𝟏, 𝒕 ≤ 𝟏 𝟎, 𝒕 > 𝟏 . 解： 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = න −∞ +∞ 𝒈 𝝉 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 ①𝒕 < −𝟏, 𝒇 𝒕 − 𝝉 = 𝟎, 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = 𝟎 ��−׬ = �� �� ∗ �� ��,��− ≤ �� ≤ ��2 𝒕 (𝒕 − 𝝉) 𝟐𝒅𝝉 = (𝝉 − 𝒕) 𝟑 ฬ 𝒕 −𝟏 𝟑 = (𝟏 + 𝒕) 𝟑 𝟑

③11 3

𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = 𝟎, 𝒕 𝟏 ��−׬ = �� �� ∗ �� ��,�� > ��3 𝟏 (𝒕 − 𝝉) 𝟐𝒅𝝉 = (𝝉 − 𝒕) 𝟑 ቤ 𝟏 −𝟏 𝟑 = 𝟔𝒕 𝟐 + 𝟐 𝟑

基础练习 1、求下列函数的卷积： fe-{60g 1,t≥0 e-t,t≥0 =10,t<0 解：fd)*g(t)=∫g()f(t-t)dr ①t<0,f(t)*g(t)=0 ②t≥0，f(t)*g(t)=6g(x)f(t-t)dr pe-rdr =-e-0=1-et r0*g国=8-e0 t<0

基础练习 1、求下列函数的卷积： 𝒇 𝒕 = ቊ 𝟏, 𝒕 ≥ 𝟎 𝟎, 𝒕 < 𝟎 , 𝒈 𝒕 = ቊ 𝒆 −𝒕 , 𝒕 ≥ 𝟎 𝟎, 𝒕 < 𝟎 , 解： f 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = ׬∞− +∞ 𝒈 𝝉 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 ①𝒕 < 𝟎, 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = 𝟎 ��׬ = �� �� ∗ �� ��,�� ≤ ��2 𝒕 𝒈 𝝉 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 = න 𝟎 𝒕 𝒆 −𝝉𝒅𝝉 =−𝒆 −𝝉 ฬ 𝒕 𝟎 = 𝟏 − 𝒆 −𝒕 f 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = ቊ 𝟎, 𝒕 < 𝟎 𝟏 − 𝒆 −𝒕 , 𝒕 ≥ 𝟎

2.卷积定理 设F1(w)=[f1(t)l,F1(w)=F[f2(t)],则有 ①F[f1(t)*f2(t)]=F1(ω)·F2(ω) ②f1(因·f2(=F1(w)*Fzo)

2.卷积定理 设𝑭𝟏 𝝎 = 𝓕[𝒇𝟏 𝒕 ],𝑭𝟏 𝝎 = 𝓕[𝒇𝟐 𝒕 ]，则有 ① 𝓕[𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 ] = 𝑭𝟏(𝝎) ∙ 𝑭𝟐(𝝎) ② 𝓕[𝒇𝟏 𝒕 ∙ 𝒇𝟐 𝒕 ] = 𝟏 𝟐𝝅 𝑭𝟏(𝝎) ∗ 𝑭𝟐(𝝎)