《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）5-1-3留数

留数及其应用

留数及其应用

第三讲 留数

第三讲 留数

留数及其应用 1.常用的积分 例刷1：计算∮：g安其中n为任意整数，C为以2为中心， r为半径的圆周。 解：C的参数方程为z=z0+rei0,0≤0≤2π. 5.d0=点ea-m9a0 =,[cos(1-n)8+isin(1-n)8]d0= 2πi,n=1 0,n≠1

留数及其应用 1.常用的积分 例1：计算ׯc dz (𝑧−𝑧0 ) 𝑛其中𝒏为任意整数，𝑪为以𝑧0为中心， 𝒓为半径的圆周。 解：C的参数方程为 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒓𝒆 𝒊𝜽 ，𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅. ��ׯ 𝒅𝒛 (𝒛−𝒛𝟎 ) 𝒏 ��׬= 𝟐𝝅 𝒓𝒊𝒆 𝒊𝜽 𝒓 𝒏𝒆 𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽 = 𝒊 𝒓 ��׬ ��−�� 𝟐𝝅 𝒆 𝒊(𝟏−𝒏)𝜽𝒅𝜽 = 𝒊 𝒓 ��׬ ��−�� 𝟐𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝟏 − 𝒏 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝟏 − 𝒏)𝜽 𝒅𝜽 = ቊ 𝟐𝝅𝒊, 𝒏 = 𝟏 𝟎, 𝒏 ≠ 𝟏

2.柯西积分定理 设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意 一条简单闭曲线C的积分 ∫cf(z)dz=0 证明：∫c(u+iw)d(x+iy) Sc(udx-vdy)+i(vdx udy) =c(+器ddy+c(偎-）axdy =0+0=0 因为： =- a=业 ax’0x=ay

2.柯西积分定理 设函数𝒇(𝒛)在单连通区域𝑫内解析，则𝒇(𝒛)在𝑫内沿任意 一 条简单闭曲线𝑪的积分 �� = �𝒅� �� �� ��׬ ��׬ :证明 (𝒖 + 𝒊𝒗)𝒅(𝒙 + 𝒊𝒚) (�𝒅𝒖� + �𝒅𝒗�)�� + �𝒅𝒗� − �𝒅𝒖� ��׬ = �� ׭ = 𝝏𝒖 𝝏𝒚 + 𝝏𝒗 𝝏𝒙 �� ׭ + �𝒅𝒙𝒅� 𝝏𝒖 𝝏𝒙 − 𝝏𝒗 𝝏𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 因为：𝝏𝒖 𝝏𝒚 = − 𝝏𝒗 𝝏𝒙 ， 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 . = 𝟎 + 𝟎 = 𝟎

3.留数概念 00 fa=∑ cne-2=6n+cneto m0 n=-c 当函数f(z)在简单闭曲线C上及其内部解析时 ∮cfa)dz=0 当简单闭曲线C的内部存在f(z)的孤立奇点zo, 4cf(z)dz=2πic-1

3.留数概念 𝒇 𝒛 = ෍ 𝒏=−∞ +∞ 𝒄𝒏 (𝒛 − z𝟎 ) 𝒏= ෍ 𝒏=𝟎 ∞ 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎 ) 𝒏 + ෍ 𝒏=−∞ −𝟏 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎 ) 𝒏 当函数𝒇(𝒛)在简单闭曲线𝑪上及其内部解析时 ර 𝐶 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 0 当简单闭曲线𝑪的内部存在𝒇(𝒛)的孤立奇点𝒛𝟎, ර 𝐶 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖𝑐−1 1 2𝜋𝑖 ර 𝐶 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑐−1

定义1：设zo是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在 zo处的洛朗展开式中负一次幂项的系数c-1称为f(z)在z0处 的留数 记作Res[f(z),zo]=c-1 fcfalds-c- 曲线C为解析函数f(z)的zo去心邻域内绕zo的闭曲线

定义1：设𝒛𝟎是解析函数𝒇(𝒛)的孤立奇点，我们把𝒇(𝒛)在 𝒛𝟎处的洛朗展开式中负一次幂项的系数𝒄−𝟏称为𝒇 𝒛 在𝒛𝟎处 的留数. 记作𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝒛), 𝒛𝟎] = 𝒄−𝟏 曲线𝑪为解析函数𝒇(𝒛)的𝒛𝟎去心邻域内绕𝒛𝟎的闭曲线。 𝟏 𝟐𝝅𝒊 ර 𝑪 𝒇 𝒛 𝒅𝒛 = 𝒄−𝟏

举例 例1：求f(z)=Zez在孤立奇点0处的留数。 解：在0<|z<+o内， 1 1,1 zez=z+1+ 2!z+31z2+. Resf(z),zo=c-1克

举例 例1：求𝐟 𝐳 = 𝐳𝒆 𝟏 𝒛在孤立奇点0处的留数。 解：在𝟎 < |𝒛| < +∞内， 𝒛𝒆 𝟏 𝒛 = 𝒛 + 𝟏 + 𝟏 𝟐! 𝒛 + 𝟏 𝟑! 𝒛 𝟐 + ⋯ Res[𝒇(𝒛),𝒛𝟎] = 𝒄−𝟏= 𝟏 𝟐

举例 例2：求f(z)=z2cos在孤立奇点0处的留数。 解：在0<|z<+o内， 2c0s2=2-1+1 1 2+4z7+.+(←1)”2n1z2m-+ Res[f(z),Zo]=c_1=0

举例 例2：求𝒇 𝐳 = 𝒛 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝒛 在孤立奇点0处的留数。 解：在𝟎 < |𝒛| < +∞内， 𝒛 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝒛 = 𝒛 𝟐 − 𝟏 𝟐! + 𝟏 𝟒! 𝒛 𝟐 + ⋯ + −𝟏 𝒏 𝟏 𝟐𝒏 ! 𝒛 𝟐𝒏−𝟐 + 𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝒛),𝒛𝟎] = 𝒄−𝟏=𝟎

4.留数定理 定理2：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 Z1,22,.,zn外处处解析，C是D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 of(z)dz 2ni > Res [f(z),Zk]

4.留数定理 定理2：设函数𝒇(𝒛)在区域𝑫内除有限个孤立奇点 𝒛𝟏,𝒛𝟐, . , 𝒛𝒏外处处解析，𝑪是𝑫内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 ර 𝐶𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝟐𝝅𝒊෍ 𝒌=𝟏 𝒏 𝑹𝒆𝒔 [𝒇(𝒛), 𝒛𝒌] D z1 z z 2 3 zn C1 C2 C3 Cn C

工作人员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 张晗

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