《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）9-1-5拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第五讲 拉普拉斯变换的性质

第五讲 拉普拉斯变换的性质

化1拉普拉斯变换的性质 6、积分性质： 1.积分的像函数 设F(s)=cf(,则有c[6fedt=号F(s) catf()at=F(s) 推广c56at6f因a=品F n次

1.拉普拉斯变换的性质 6、积分性质： Ⅰ.积分的像函数 ⋯

证明：设g(t)=0f(t)dtg()=f(t), LIf(t)]=LIg'(t)]=F(s),g(0)=ff(t)dt =0 F(s)=c[g'(t)]=sc[g(t)]-g(0)=sc[g(t)] F(s)=sc[g(t)],L[g(t)]=F(s) 同理：设h(t)=dt6f(t)dt,h'(t)=J6f(e)dt=g() c[h(t)]=LIg(t)]=F(s) 因此：c[6 d de]=F(s) n次

证明：

Ⅱ.像函数的积分 设F(s)=f(tl,则有F(s)ds=c玛 推广dsds,F(s)ds=9] n次 证明：F(s)ds=[0”f()e-sdt]ds e dsldt)dt e-stdt = 同理：推广dsds.F(s)ds=cf

Ⅱ. 像函数的积分 证明：

举例 例1：求f)=的拉氏变换。 解：Fs)=(sint]=4 则有c[=gads=arccots 即“'erdt=-arctans=arccots 当s=0时，0eodt =“dt=是-arctan0=8

举例

基础练习 1.求下列函数的拉氏变换F(s)。 求fd)=n(k≠0)的拉氏变换。 解：F(s)=Esinkt]=e, 则贿cgd= 当S=0时，me-0rdt=stn t t =“gdt=是-arctan0=

基础练习

拉普拉斯变换S=0时的反常积分公式 设F(s)=c[f(t】=0t”f(t)e-stdt, ①F(o)=tft)edt=f)dt F(s)=-tf(t)e-stdt -F()=tf(t)eotdt=tf(t)dt F(s)dse-stdt ③ F(sdse-dtdt

举例 例2：计算下列积分. (1e-cos2tdt 解： F(s)=L[cos2t]= F3)e cos2tdt= 3 3 13 (2e-tsin2tat 解：Fs-cstm2=品 F(5)e-stsin2tdt 2 2 25+4 29

举例 例2：计算下列积分

(3)0o1-eose-‘dt t 解：F(s)=1-cos-} -s2+1 Fsds=0o1aedt,当s=1时， F(s)ds=ds 2 In2

解：