《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）8-1-11傅里叶级数的指数计算

傅里叶变换

傅里叶变换

第一讲 傅里十变换的概念

第一讲 傅里叶变换的概念

1.狄利克雷条件 定理1：（收敛定理：狄利克雷(Dirichlet)充分条件） 设函数f()是周期为T的实值函数，在[-Z,上如果它满足： (1)连续或只有有限个第一类间断点， (2)只有有限个极值点

1.狄利克雷条件 定理1：（收敛定理：狄利克雷（Dirichlet）充分条件) 设函数fT (t)是周期为T的实值函数，在[− 𝑻 𝟐 , 𝑻 𝟐 ]上如果它满足： (1)连续或只有有限个第一类间断点， (2)只有有限个极值点

则在f-(t)的连续点处有 +00 (ancosnot +bnsinnot) 2π fr(t)= 2 ω0T n=1 T an-2SFr(t)cosn@otdt (n∈W) 2 bn=fr()sinnwotdt (nEZ+) 当t是f-(t)的间断点时，级数收敛于 2fr(t+0)+fr(t-0

则在fT (t)的连续点处有 当t0是fT (t)的间断点时，级数收敛于 𝑓𝑇 𝑡 = 𝑎0 2 + ෍ 𝑛=1 +∞ (𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔0𝑡 + 𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛𝑛𝜔0𝑡) 𝑎𝑛 = 2 𝑇 ׬ − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓𝑇 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 (𝑛 ∈ 𝑁) 𝑏𝑛 = 2 𝑇 ׬ − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓𝑇 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 (𝑛 ∈ 𝑍 +) 1 2 [𝑓𝑇 𝑡 + 0 + 𝑓𝑇(𝑡 − 0)] 𝜔0 = 2𝜋 𝑇

正弦与余弦函数、欧拉公式： eit cost jsint eit e-it eit -e-it cost sint 2 2j cosnaot ejnaot e-jnaot 2 sinnwot= ejnwot-e-jnωot 2j

正弦与余弦函数、欧拉公式： 𝒄𝒐𝒔𝒕 = 𝒆 𝒋𝒕 + 𝒆 −𝒋𝒕 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒕 = 𝒆 𝒋𝒕 − 𝒆 −𝒋𝒕 𝟐𝒋 𝒆 𝒋𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝒋𝒔𝒊𝒏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝎𝟎𝒕 = 𝒆 𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 + 𝒆 −𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒏𝝎𝟎𝒕 = 𝒆 𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 − 𝒆 −𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 𝟐𝒋

2、傅里叶级数的复指数形式 十0∞ 2π fr(d=∑Cn 00三T 1n=-0∞ Cn=fr(t)e-Mnoot dt (nEZ) T 特别的co=∫f()dt F(nwo)=Cn为fr(t)的离散频谱： ICnl=lF(nwo)川为离散振幅频谱； argCn=argF(nωo)为离散相位谱

2、傅里叶级数的复指数形式 𝒇𝑻(𝒕) = ෍ 𝒏=−∞ +∞ 𝑪𝒏𝒆 𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 𝑪𝒏 = 𝟏 𝑻 ׬ − 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 𝒇𝑻(𝒕)𝒆 −𝒋𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒅𝒕 (𝒏 ∈ 𝒁) 𝝎𝟎 = 𝟐𝝅 𝑻 𝑭(𝒏𝝎𝟎) = 𝑪𝒏为𝒇𝑻 𝒕 的离散频谱; |𝑪𝒏| = |𝑭(𝒏𝝎𝟎)|为离散振幅频谱; arg𝑪𝒏 = 𝒂𝒓𝒈𝑭(𝒏𝝎𝟎)为离散相位谱. 特别的𝑪𝟎 = 𝟏 𝑻 ׬ − 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 𝒇𝑻 𝒕 𝒅𝒕

1.基础积分 S2dt =2(b-a) 日3at=3T edt=是ectI8 f"e-tdt-e-t-e-a-e-b 启ax=引治经号店u=收-普-号 cosctdt=sinct=(sinbt-sinat) sinctdt=-是cosct8-是(cosat-cosbt)

1.基础积分 ��׬ 𝒃 𝟐𝒅𝒕 = 𝟐(𝒃 − 𝒂) ��׬ 𝒃 𝒆 𝒄𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝒄 𝒆 𝒄𝒕 |𝒂 𝒃 ��׬ 𝑻 𝟑𝒅𝒕 = 𝟑𝑻 ��׬ 𝒃 𝒆 −𝒕𝒅𝒕 =−𝒆 −𝒕 |𝒂 𝒃=𝒆 −𝒂 −𝒆 −𝒃 ��׬ 𝒃 𝒙𝒅𝒙 = ฬ 𝒙 𝟐 𝟐 𝒃 𝒂 = 𝒃 𝟐 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝟐 ��׬ 𝒃 𝒙 𝟐𝒅𝒙 = ฬ 𝒙 𝟑 𝟑 𝒃 𝒂 = 𝒃 𝟑 𝟑 − 𝒂 𝟑 𝟑 ��׬ 𝒃 𝒄𝒐𝒔𝒄𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝒄 𝒔𝒊𝒏𝒄𝒕|𝒂 𝒃 = 𝟏 𝒄 (𝒔𝒊𝒏𝒃𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒕) ��׬ 𝒃 𝒔𝒊𝒏𝒄𝒕𝒅𝒕 = − 𝟏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄𝒕|𝒂 𝒃 = 𝟏 𝒄 (𝒄𝒐𝒔𝒂𝒕 − 𝒄𝒐𝒔𝒃𝒕)

lim ex=0 lim ex=0 x-00 X→+00 cos(nπ)=(-1)n lim e2x=0 lim e-2x =0 cos(-nπ)=(-1)P X-→一00 X→+00 T 5dt 08at= be-idt= eztdt= 52dt= cos2tdt= sin3tdt

��׬ 𝑻 𝟐 𝟓𝒅𝒕 = ��׬ +∞ 𝒆 −𝒕𝒅𝒕 = ��׬ 𝑻 𝟖𝒅𝒕 = ��׬ 𝒍𝒏𝟐 𝒆 𝟐𝒕𝒅𝒕 = ��׬ 𝟐 ��׬ = �𝒅𝒕� 𝒙 𝒕 𝟐𝒅𝒕 = ��׬ 𝝅 ��׬ = �𝒅𝒕𝟐𝒔𝒐𝒄� �� 𝝅 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒕𝒅𝒕 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝒆 𝒙 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒆 −𝒙 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝒆 𝟐𝒙 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒆 −𝟐𝒙 = 𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) = (−𝟏) 𝒏 𝐜𝐨𝐬(−𝒏𝝅) = (−𝟏) 𝒏

举例 例1：求以T为周期的函数f(t)的傅里叶级数 的复指数形式： 0,-<t<0 2,0<t< 解： co=打，fe)t=眼2dt+0d=1 T Cn=frft)emwo'dt=号2em学at,n≠0 (e-1)=} ,n为奇数 nπ 0,为偶数

举例 例1：求以T为周期的函数𝒇(𝒕)的傅里叶级数 的复指数形式： 解： 𝒇 𝒕 = ቐ 𝟎, − 𝑻 𝟐 < 𝒕 < 𝟎 𝟐, 𝟎 < 𝒕 < 𝑻 𝟐 𝑪𝟎 = 𝟏 𝑻 ׬ − 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏 𝑻 ��׬] 𝑻 −׬ + �𝒅𝟐� �� 𝑻 𝟐 𝟎 𝟎𝒅𝒕] = 𝟏 𝑪𝒏 = 𝟏 𝑻 ׬ − 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 𝒇 𝒕 𝒆 −𝒋𝒏𝝎𝟎𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝑻 ��׬ 𝑻 𝟐 𝟐𝒆 −𝒋𝒏𝟐𝝅 𝑻 𝒕 𝒅𝒕 = ቐ −𝟐𝒋 𝒏𝝅 , 𝒏为奇数 𝟎，为偶数 = 𝟏 −𝒋𝒏𝝅 (𝒆 −𝒋𝒏𝝅−𝟏) , 𝒏 ≠ 𝟎

函数f(t)的傅里叶级数的复指数形式为： fne=1+∑.am2 +00 -2j ej(2n-1)wot n=-0∞ fr(t)

函数𝒇(𝒕)的傅里叶级数的复指数形式为： 𝒇𝑻 𝒕 = 𝟏 + ෍ 𝒏=−∞ +∞ −𝟐𝒋 (𝟐𝒏 − 𝟏)𝝅 𝒆 𝒋(𝟐𝒏−𝟏)𝝎𝟎𝒕 𝑇 𝑡 2 − 𝑇 2 −𝑇 𝑇 2 𝑓𝑇(𝑡) 3𝑇 2 − 3𝑇 2