《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）2-2-1初等函数1

解析函数

解 析 函 数

第四讲 初等函数之指数函数

第四讲 初等函数之指数函数

初等函数 1指数函数 定义1：对于复数z=x+iy,称e2=ex(cosy+isiny) 为指数函数，e2=exp(z). 欧拉公式：ey=cosy+isiny (y为实数)

初等函数 1.指数函数 定义1：对于复数𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚,称𝒆 𝒛=𝒆 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒚 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝒚 为指数函数，𝒆 𝒛=𝒆𝒙𝒑(𝒛). 欧拉公式：𝒆 𝒊𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒚 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝒚 （𝒚为实数）

指数函数的性质 (1)模le=ex,辐角Arge2=y+2kπ，keZ. (2)指数运算法则e21e22=e21+z2; e21 e22 =e1-2. (3)周期函数2kπi(k=±1，±2，.) ez+2kπi=e2(cos2kπ+isin2kπ)=e2 (4) e2不存在；册e2=lime2=0 7300 X→-00 z=x<0 (5)(e2)'=e2

指数函数的性质 （1）模 |𝒆 𝒛 |=e 𝒙 ,辐角 𝐴𝑟𝑔 𝒆 𝒛=𝑦 + 2𝑘𝜋,k𝜖𝑍. （2）指数运算法则 𝒆 𝒛𝟏𝒆 𝒛𝟐 = 𝒆 𝒛𝟏+𝒛𝟐； （3）周期函数 𝟐𝒌𝞹𝒊 𝒌 = ±𝟏, ±𝟐, . 𝒆 𝒛+𝟐𝒌𝝅𝒊=𝒆 𝒛 (cos 𝟐𝒌𝝅 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝟐𝒌𝝅)= 𝒆 𝒛 （4）𝒛 𝐥𝐢𝐦 →∞ 𝒆 不存在； 𝒛 𝒛 𝐥𝐢𝐦 →∞ 𝒛=𝒙<𝟎 𝒆 𝒛 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒆 𝒛 = 𝟎 （5）(𝒆 𝒛 )′ = 𝒆 𝒛 . 𝒆 𝒛𝟏 𝒆 𝒛𝟐 = 𝒆 𝒛𝟏−𝒛𝟐

举例 例1：计算e3+星t的值，说明实部和虚部。 解：e3+7=e-3(cos年+isim孕 =e3竖+ 实部：e3号 虚部： e~3V2 2

举例 例1：计算𝒆 −𝟑+ 𝝅 𝟒 𝒊 的值,说明实部和虚部。 解： 𝒆 −𝟑+ 𝝅 𝟒 𝒊 = 𝒆 −𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 ) = 𝒆 −𝟑 ( 𝟐 𝟐 + 𝒊 𝟐 𝟐 ) 实部： 𝒆 −𝟑 𝟐 𝟐 虚部： 𝒆 −𝟑 𝟐 𝟐

1 例2：计算 .(结果表示成复数的指数式)。 解：-2+i》 （-2,1) r=1+(-2)2=v5 01=π+arctan=元-arctan2 -2+i =v5cos(π-arctan)+isim(r-arctan》 =V5e(π-arctan2

例2：计算 −𝟐+𝒊 𝟏+𝟐𝒊 𝟏 𝟑 .(结果表示成复数的指数式）。 解： −𝟐 + 𝒊 = 𝟓[𝐜𝐨𝐬 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏 𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏 𝟐 ] （ − 𝟐，𝟏） 𝒙 𝒚 𝑶 𝒓 = 𝟏 + (−𝟐) 𝟐= 𝟓 𝜽𝟏 = 𝝅 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏 (−𝟐) = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏 𝟐 −𝟐 + 𝒊 = 𝟓𝒆 𝒊(𝝅−𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟐 )

1+2i(1,2) r=√1+(2)2=V5 02 arctan2 1+2i v5[cos(arctan2)+isin(arctan2)] 5ei(arctan2)

1 + 2𝑖 = 𝟓[𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟐 ] = 𝟓𝒆 𝒊(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟐) （𝟏，𝟐） 𝒙 𝒚 𝑶 𝒓 = 𝟏 + (𝟐) 𝟐= 𝟓 𝜽𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟐 1 + 2𝑖

- 1 13 e(-arctan-arctan2x2kn) +分，k=0 e+ arcian+arctan2 e爱=-+吃k=1 2 3π： e2=-i.k=2

−𝟐 + 𝒊 𝟏 + 𝟐𝒊 𝟏 𝟑 = 𝒆 𝟏 𝟑 𝒊 𝝅 𝟐 +𝟐𝒌𝝅 𝒌=𝟎,𝟏,𝟐； 𝒆 𝝅 𝟔 𝒊 = 𝟑 𝟐 + 𝒊 𝟏 𝟐 ，k=0 𝒆 𝟑𝝅 𝟐 𝒊 =−𝒊. 𝐤 = 𝟐 𝒆 𝟓𝝅 𝟔 𝒊 = − 𝟑 𝟐 + 𝒊 𝟏 𝟐 ，k=1 = 𝟓𝒆 𝒊(𝝅−𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟐 ) 𝟓𝒆 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟏 𝟑 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏 𝟐 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟐 = 𝝅 2 = 𝒆 𝟏 𝟑 𝒊(𝝅−𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟐 −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟐+𝟐𝒌𝝅)

例3：解方程e2=1+v3. 解：1+iV5(1,V3) r=1+v32=2 0 arctan3= 1+iV3=2[cos号+isin9=2e写+2km,keZ 2 eln2, 2el+2km)_eln2+i(+2kn)=ez z=In2+i+2kn),k EZ

例3：解方程e z = 𝟏 + 𝒊 𝟑. 解： 𝟏 + 𝒊 𝟑 （𝟏， 𝟑） 𝒙 𝒚 𝒓 = 𝟏 + 𝟑 𝑶 𝟐 = 𝟐 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 = 𝝅 𝟑 𝟏 + 𝒊 𝟑 = 𝟐[𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟑 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟑 ] = 𝟐𝒆𝒊( 𝝅 𝟑 +𝟐𝒌𝝅) ,k𝝐𝒁 𝟐 = 𝒆 𝒍𝒏𝟐 , 𝒛 = 𝒍𝒏𝟐 + 𝒊 𝝅 𝟑 + 𝟐𝒌𝝅 , 𝒌 ∈ 𝒁. 𝟐𝒆𝒊( 𝝅 𝟑 +𝟐𝒌𝝅)= 𝒆 𝒍𝒏𝟐+𝒊( 𝝅 𝟑 +𝟐𝒌𝝅) = 𝒆 𝒛

基础练习 1:计算e2+名1的值求出实部与虚部。 解：e2+后i=e-2(cosg+isin) =e2+2 实部：e-2 2 虚部：e2号 说明：在电路分析中，常用复指数来描述，表示电 流强度，表示虚数单位。 如：i=vZcos(2t+g)=ReVZIeiezt

基础练习 1：计算e −𝟐+ 𝝅 𝟔 𝒊 的值,求出实部与虚部。 解： 𝒆 −𝟐+ 𝝅 𝟔 𝒊 = 𝒆 −𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟔 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟔 实部： 𝒆 −𝟐 𝟑 𝟐 , 虚部： 𝒆 −𝟐 𝟏 𝟐 . = 𝒆 −𝟐 ( 𝟑 𝟐 + 𝒊 𝟏 𝟐 ) 说明：在电路分析中，常用复指数来描述，𝒊表示电 流强度，𝒋表示虚数单位。 如：𝒊 = 𝟐𝑰𝒄𝒐𝒔 2𝒕 + 𝝅 6 = 𝑹𝒆 𝟐𝑰𝒆 𝒋 𝝅 6𝒆 𝒋2𝒕