《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）5-2-1留数

留数及其应用

留数及其应用

第三讲 留数

第三讲 留数

留数及其应用 化1.常用的积分 例1：计算∮：%其中n为任意整数，C为以zn为中心， dz r为半径的圆周。 解：C的参数方程为z=z0+rei0,0≤0≤2π. f.z-ga0=点en-a9a0 "[cos(1-n)0+isin(1-n)0ld 0= 2πi,n=1 0,n≠1

留数及其应用 1.常用的积分

2.柯西积分定理 格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若函数P(x,y)及 Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 j祭aw-P+0 D 其中L是D的取正向的边界曲线 因刀·y =0x’ax=ay

2.柯西积分定理 证明： 因为： = ᵼ + ᵼ = ᵼ 格林公式 D L 其中L是D的取正向的边界曲线

3.留数概念 a=2,a-w=26a-0+a-20 十00 当函数f(z)在简单闭曲线C上及其内部解析时 ∮cfa)dz=0 当简单闭曲线C的内部存在f(z)的孤立奇点2o, 9cf(z)dz=2πic-

3.留数概念

定义1：设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在 zo处的洛朗展开式中负一次幂项的系数c-1称为f(z)在zo处 的留数. 记作Res[f(z),zo]=c-1 曲线C为解析函数f(z)的z0去心邻域内绕zo的闭曲线

举例 例1：求f(z)=zz在孤立奇点0处的留数。 解：在0<|z<+oo内， 1 1 zez =z+1+ 212十31z2+. Res[f(z),0]=c-1=

举例 解：

举例 例2：求f(z)=z2cos1在孤立奇点0处的留数。 解：在0<|z<+∞内， z2cos2=z2-1+1 1 1 2+4z+.+（-10™2nz2n-2+ Res[f(z),0]=c-1=0

举例

4.留数定理 定理2：设函数f(z在区域D内除有限个孤立奇点 z1,Z2,.,乙m外处处解析，C是D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 n pcf(a)dz=2πi∑ Res [f(z),Zk] k=1 C> :-

4.留数定理 D z1 z z 2 3 zn C1 C2 C3 Cn C

工作人员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 张晗

工 作 人 员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 张 晗