《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）2-1-3解析函数与调和函数

解析函数

解 析 函 数

第三讲 解析丞数与调和丞数

第三讲 解析函数与调和函数

解析函数与调和函数 1.调和函数的概念 定义1：设二元实函数：p=p(x,y), 若有 g+020-0, 0x2十ay2 称为二维拉普拉斯(Laplace)方程

解析函数与调和函数 1.调和函数的概念 定义1： 设二元实函数：𝝋 = 𝝋 𝒙, 𝒚 , 若有 称为二维拉普拉斯(Laplace)方程。 𝜕 2𝜑 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝜑 𝜕𝑦2 =0

定义2：设二元实函数：p=p(x,y), 在区域D内有二阶连续偏导数，且满足 二维拉普拉斯(Laplace)方程，则称p(x,y) 为区域D内的调和函数，或者称p(x,y)在区 域D内调和

定义2： 设二元实函数：𝝋 = 𝝋 𝒙, 𝒚 , 在区域D内有二阶连续偏导数，且满足 二维拉普拉斯(Laplace)方程，则称𝝋 𝒙, 𝒚 为区域D内的调和函数，或者称𝝋 𝒙, 𝒚 在区 域D内调和

定理1： 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析， 则f(Z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是区域D内的调和函数。 证明： 因为f(z在区域D内解析，u、v满足C-R方程， 当fz在区域D内解析时，u、v有任意阶连续 偏导数，对以下两式求偏导： = du =- dv 0x ∂y dy ax 得： 2u a2v a2u 02v axdy dy2 oyox 两式相减得： -0,即v(x,y)是调和函数。 02v,02v 同理u(x,y)也是调和函数

定理1： 设函数 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚) 在区域D内解析， 则𝒇(𝒛)的实部𝒖(𝒙, 𝒚)和虚部𝒗(𝒙, 𝒚)都是区域D内的调和函数。 证明： 因为f(z)在区域D内解析， 𝒖、𝒗 满足C-R方程， 当f(z)在区域D内解析时，𝒖、𝒗有任意阶连续 偏导数，对以下两式求偏导： 𝝏 𝟐𝒖 𝝏𝒙𝝏𝒚 = 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒚 𝟐 ， 𝝏 𝟐𝒖 𝝏𝒚𝝏𝒙 = − 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒙 𝟐 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 ， 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = − 𝝏𝒗 𝝏𝒙 得： 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒙 𝟐 + 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒚 𝟐 两式相减得： =0，即 𝒗(𝒙, 𝒚) 是调和函数。 同理𝒖(𝒙, 𝒚)也是调和函数

2.共轭调和函数 定义2：设函数p(x,y)及(x,y)均为区域D内的调和函数， 且满足C-R方程，则称(x,y)是p(x,y)的共轭调和函数。 C-R方程： 0x 0x 定理2：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的 充要条件在区域D内，f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)共轭 调和函数。 利用调和函数与它的共轭调和函数的关系作出一个解析函数

2.共轭调和函数 定义2：设函数𝝋(𝒙, 𝒚)及𝝍(𝒙, 𝒚)均为区域D内的调和函数， 且满足C-R方程，则称 𝝍 𝒙, 𝒚 是𝝋(𝒙, 𝒚) 的共轭调和函数。 C-R方程： 𝝏𝝋 𝝏𝒙 = 𝝏𝝍 𝝏𝒚 ， 𝝏𝝍 𝝏𝒙 = − 𝝏𝝋 𝝏𝒚 定理2： 设函数𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚)在区域D内解析的 充要条件在区域D内，𝒇(𝒛)的虚部𝝂(𝒙, 𝒚)是实部𝒖(𝒙, 𝒚)共轭 调和函数。 利用调和函数与它的共轭调和函数的关系作出一个解析函数

3解析函数和调和函数的关系 1求解析函数的步骤： I.已知u(x,y)求f(z): IⅡ.已知(x,y)求f(z): (1)求C-R方程 (1)求C-R方程 2积分v=∫器y+9(x) 2)积分u=股dx+0) 3)求器- av dy )求”- (4)代入初始条件，求p(x) (4)代入初始条件，求Ψ(y) (5)整理写处f(z)的表达式 (5)整理写处f(z)的表达式

3.解析函数和调和函数的关系 1.求解析函数的步骤： Ⅰ.已知𝒖 𝒙, 𝒚 求f(z): (1)求C-R方程 (2)积分v= 𝜕𝑣 𝜕𝑦 dy + 𝜑(𝑥) (3) 求 𝜕𝑣 𝜕𝑥 =− 𝜕𝑢 𝜕𝑦 (4)代入初始条件，求𝜑(𝑥) (5)整理写处f(z)的表达式 Ⅱ.已知𝒗 𝒙, 𝒚 求f(z): (1)求C-R方程 (2)积分u= 𝜕𝑢 𝜕𝑥 d𝑥 + Ψ(𝑦) (3) 求 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 𝜕𝑣 𝜕𝑥 (4)代入初始条件，求Ψ(𝑦) (5)整理写处f(z)的表达式

举例 例1：解析函数f(z), (1)已知u(x,y)=x3-3xy2,f(0)=i. 解： 股=3x2-3y2,器=-6y v=f(3x2-3y2)dy +o(x)=3x2y+y3+o(x) =6xy+p'x)=6xy,p'(x)=1,p(x)）=C x f(z)=x3-3xy2+i(3x2y+y3+C) 把f(0)=i代入上式，得c=1. f(z)=x3-3xy2+i(3x2y+y3+1) =(x+iy)3+i=z3+i

举例 例1：解析函数𝒇 𝒛 . 1 已知𝑢 𝑥, 𝑦 =𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 , 𝑓 0 = 𝑖. 解： 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 3𝑥 2 − 3𝑦 2 , 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = −6𝑥𝑦 𝑣= (3𝑥 2 − 3𝑦 2 ) dy + 𝜑(𝑥) =3𝑥 2𝑦 + 𝑦 3 + 𝜑(𝑥) 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 6𝑥𝑦 + 𝜑 ′ (𝑥) = 6𝑥𝑦 , 𝜑 ′ (𝑥) = 1,𝜑 𝑥 = 𝐶 𝑓 𝑧 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 + 𝑖(3𝑥 2𝑦 + 𝑦 3+C) 把𝑓 0 = 𝑖代入上式，得C=1. 𝑓 𝑧 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 + 𝑖(3𝑥 2𝑦 + 𝑦 3+1) = (𝑥 + 𝑖𝑦) 3 + 𝑖=𝑧 3 + 𝑖

举例 (2)已知v(x,y)=ex(ycosy+xsiny)+x+y, f(0)=0. 解： 器=e50cosy+xsiny+sinw）+1 o 2=e*(cosy-ysiny +xcosy)+1 ay u=f[e*(cosy-ysiny +xcosy)+1]dx ex(xcosy-ysiny)+x+(y) =e(-xsiny-siny-ycosy）)+wW'0)=- Ov dy ax ψy)=-y+C,把f(0)=0代入u,得c=0. f(z)=ze2+z(i+1)

𝟐 已知𝑣 𝑥, 𝑦 =𝑒 𝑥 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑥 + 𝑦, 𝑓 0 = 0. 解： 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 1 𝑢 = [𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦)+1 ]𝑑𝑥 举例 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦)+1 = 𝑒 𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑥+𝜓(𝑦) 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑒 𝑥 −𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝜓 ′ 𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜓 𝑦 = −𝑦 + 𝐶, 把𝑓 0 = 0代入𝒖，得C=0. 𝑓 𝑧 = 𝑧𝑒𝑧 + 𝑧（𝑖+1)

2.求共轭调和函数的步骤： I.已知u(x,y)求v(x,y): (1)求C-R方程 2积分v=%器 u dx+ ou dy +C ax (xo,yo)为D内一定点，C为任意实常数

2.求共轭调和函数的步骤： Ⅰ.已知𝒖 𝒙, 𝒚 求𝑣(𝑥, 𝑦): (1)求C-R方程 (2)积分v= − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 (𝑥,𝑦) (𝑥0,𝑦0) 𝑑𝑥+ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑦 + 𝐶 (𝑥0, 𝑦0)为D内一定点，C为任意实常数