《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-4-2函数展开成幂级数

第六讲 函数展开成幂级数

无 穷 级 数 第六讲 函数展开成幂级数

无穷级数 1.幂级数的间接展开法 ex=1+x+ 7r+.++.- n=0 gxx-+日++22a+ a=1-2+++m+ 1 x∈(-o,+o)

无 穷 级 数 1.幂级数的间接展开法 ᵉ ∈(− ∞, + ∞)

无穷级数 00 1 ”=1+x++x0+=1-x(-1<x<1) n=0 1 =1-x+x2-.+(-1)"x"+.(-1<x<1) 1+x 1 1-2=1+x++nx-1+.(-1<x<1) xn+1 -ln(1-x)=x+ 2+.+ n+1 +.(-1≤x<1)

无 穷 级 数

无穷级数 举例 例1.将函数f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数. 解：方法一， -n(1-刘=x+ 2+.+1 n+1+.(-1≤x<1) 把-x代入 -1+x刘=-x+2 -+.(-1<x≤1) n+1 n(1+x)=x-2+.+二)”xn+1 n+1一+.(-1<x≤1)

无 穷 级 数 举例 解：方法一

无穷级敛 解：方法二， =1-x+x2-.+(-1)”x"+.（-1<x<1) 1 1+x 把两端同时积分 x2x3 n+i+. +的=x-公+ x2 .+(1)n n+1 十. (-1<x≤1) 11 lm2=1- 2+31 .+(←10n n+i+

无 穷 级 数 解：方法二, 把两端同时积分 ( − 1 < ᵆ ≤ 1)

无穷级数 举例 例2.将sinx展开成x-的幂级数. stmx-∑ 0 (-1)” 解： 2n+1)！ x2n+1 n=0 ●X sin(x- n=0 00 COSx= -1x2n (2n)！ n=0 00 cos(x- 1)” L、21 (2nm1 x- m=0

无 穷 级 数 举例 解：

无穷级敛 sinx=sin(x) =经m(x-用+m(-) u-孕2+ 00 n=( x∈(-∞，+∞)

无 穷 级 数 ᵉ ∈(− ∞, + ∞)

无穷级数 举例 例3.将f(x)= x2+4x+3 展开成x一1的幂级数. 解： x2+4x+3-(x+1)(x+3) =(母)（其 ( x-r品2)

无 穷 级 数 举例 解：

无穷级数 举例 例4.将f(x)=n(2+x-3x2)展开成x的幂级数 00 xn+1 解：m(1-x)= (-1≤x<1) n+1 n0 00 n+1 n+1 2 m=0 ln(2+x-3x2)=ln(1-x)+ln(3x+2) =m1-x)+lm2+ln(1+2 -+r”-器

无 穷 级 数 举例 解： ( − ᵽ ᵽ ≤ ᵉ < ᵽ ᵽ )

无穷级数 举例 例5.将f(d)=arctan展开成x的幂级数。 1 解：f(0)=4,f(=1+ n=0 两边同时积分： 00 -o=-1rzn+7 n=0 00 f=+-1 1 4 x2n+1 2m+1 (-1≤x≤1) n=0

无 穷 级 数 举例 解： ( − ᵼ ≤ ᵉ ≤ ᵼ ) 两边同时积分：