《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-3-1幂级数

第一讲 幂级数

无 穷 级 数 第一讲 幂 级 数

无穷级数 1.函数项级数 定义.设n(x)(n=1,2,.)为定义在区间1上的函数，称 00 ∑ un(x)=u1(x)+2(x)+.+un(x)+., n=1 为定义在区间【上的函数项级数， 例如： ∑x0=1+x+x2+.+x0+. n=0 00 ∑(-1)”x0=1-x+x2-.+(-1)mx1+. n=0

无 穷 级 数 1.函数项级数 例如：

无穷级敛 2.函数项级数的收敛域与发散域 00 定义.对xo∈1，常数项级数 (xo)收敛，称xo称为其收敛点， n=1 所有收敛点的全体称为其收敛域； 常数项级数 un(xo)发散，称xo称为其发散点， n=1 所有发散点的全体称为其发散域 例如：)x的收敛域为(-1,1)，发散域为(-0，-1，[1，+0). =0

无 穷 级 数 2.函数项级数的收敛域与发散域 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 例如：

无穷级数 3.和函数 定义.在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称其 为级数的和函数. S(x)= un (x) n=1 00 函数项级数 4m(的前n项和函数，记为Sn()=， n=1 记余顶：rn(x)=S(x)-Sn(x), 在收敛域上有：lim Sn(x)=S(x),lim rn(x)=0

无 穷 级 数 3.和函数 在收敛域上有：

无穷级数 举例 例1.求级数 )xn与)(-1)”x”的和函数与收敛域。 n=0 n=0 解：因为两级数为等比级数，所以其收敛域均为(-1,1)， 在收敛域上，其和函数为： ●X ∑-1 1+x n=0 n=0

无 穷 级 数 举例 例1. 求级数 的和函数与收敛域. 解： 在收敛域上，其和函数为：

无穷级数 4.幂级数及其收敛性 00 定义.形如 > an (x-xo)n=ao+a(x-xo)+a2(x-xo)2+ n=0 .+an(x-xo)n+. 的函数项级数称为幂级数.其中数列a称为幂级数的系数. x0=0时的幂级数， anxn=a0+a1x+a2x2+.+anxn+. n=0

无 穷 级 数 4.幂级数及其收敛性 定义. 形如 的函数项级数称为幂级数

无穷级敛 00 定理1.（阿贝尔定理）若幂级数 anx"在xo点收敛，则对 n=0 满足不等式引x|x的一切x,幂级数都发散. 收敛发散 发散 收0 敛发散

无 穷 级 数 定理1.(阿贝尔定理）若幂级数 发 散 收 敛 发 散 收敛发散 0 反之 ，若幂级数

无穷级数 00 anx"的收敛域是以原点中心的区间， n=0 用±R表示幂级数收敛与发散的分界点， R=0时，幂级数仅在x=0收敛： R=∞时，幂级数在（-∞，十o)收敛； 0<R<+∞时，幂级数在(-R,R)收敛在[-R,R]外发散； 在x=±R处可能收敛也可能发散 R称为收敛半径，（-R,R)称为收敛区间，(-R,R)加上 收敛的端点称为收敛域

无 穷 级 数 收敛的端点称为收敛域

无穷级敛 0 定理2. 若 anx"的系数满足lim an+1 =P, n→∞ an n=0 1 当p≠0时， R- p 则： 当p=0时， R=∞ 当p=o时， R=0 证： lim Qn+1xn+1 n→0∞ anxn 当p≠0时，px|二 时原级数发散， R=1 0

无 穷 级 数 证: ᵇ = ᵼ ᵴ

无穷级数 当g=0时任意x原级数绝对收敛R=∞ 当p=oo时，x=0时收敛，其它点均发散，R=0. 00 ∑ nx的收敛半径为：R=lim An n-→o

无 穷 级 数 当ᵴ = ᵼ 时,任意ᵉ 原级数绝对收敛,ᵁ = ∞