《高等数学》课程教学课件（讲稿）9-1-7曲线的切线与法平面

第七讲 空间曲线的切线与法平面

多元函数微分法及其应用 第七讲 空间曲线的切线与法平面

多元函激微分法及其应用 1.空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面

多元函数微分法及其应用 1.空间曲线的切线与法平面 位置. 平面. ᵮ ᵄ ᵄ ᵰ

多元函数微分法及其应用 1.曲线方程为参数方程的情况 :X=φ(t),y=(t),之=ω(t) M 设t=to对应M(xo,yo,2o) t=t。+At对应M(X。+△xy。+Ay竖+Az) 割线MM'的方程： X-X0=y-y0=2-z0 △x △y △z 上述方程之分母同除以△t,令△t→0，得 Z-Zo 切线方程 X一x0_ y-yo φ'(to) '(to)ω'(to)

多元函数微分法及其应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 ᵮ : ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ) 切线方程 ᵆ = ᵆ 0 + ᵮ ᵆ 对应 ᵄ ′ ( ᵆ 0 + ᵮ ᵆ , ᵆ 0 + ᵮ ᵆ , ᵆ 0 + ᵮ ᵆ )  ᵄ ᵄ ᵮ ᵄ ′

多元函教微分法及其应用 此处要求中'(to),'(to),w'(to)不全为0， 如个别为0，则理解为分子为0. 切线的方向向量： =('(to),'(to),w'(to)) n(t 称为曲线的切向量. 示也是法平面的法向量，因此得法平面方程 φ(to)x-x。)+(t)y-yo)+ω(t)z-2)=0

多元函数微分法及其应用 ᵱ ′ ( ᵆ 0 )(ᵆ − ᵆ 0 ) 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . + ᵱ ′ ( ᵆ 0 )(ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵱ ′ ( ᵆ 0 )(ᵆ − ᵆ 0 ) = 0 如个别为0, 则理解为分子为 0 . ᵰ ᵮ ᵄ 不全为0, 因此得法平面方程 ᵅ ᵅ(ᵆ)

多元函数微分法及其应用 说明：若引进向量函数t)=((t),(t),w(t) ,则口为r(t)的矢端曲线处的导向量而在to r(t)=(φ(t),Ψ(t),w(to)》 就是该点的切向量

多元函数微分法及其应用 说明: 若引进向量函数 ᵅ(ᵆ) = (ᵱ (ᵆ), ᵱ (ᵆ), ᵱ (ᵆ)) , 则 ￾ 处的导向量 ᵅ ′ ( ᵆ 0 ) = ( ᵱ ′ ( ᵆ 0 ), ᵱ ′ ( ᵆ 0 ), ᵱ ′ ( ᵆ 0 )) 就是该点的切向量. ᵰ ᵮ ᵄ ᵅ ᵅ(ᵆ)

多元函教微分法及其应用 例1.求圆柱螺旋线x=Rcos中，y=Rsin中，z=k中在 中=飞 对应点处的切线方程和法平面方程， 解：由于x=-Rsin中，y'=Rcos中，z=k,当中=时 对应的切向量为T=(-R,0,k)，故 切线方程 M (0,R,Tk) 0 k 即 kx+Rz- Rk= y-R=0 法平面方程 -R+k(z-k)=0 即 R-2+匹欧=0 X

多元函数微分法及其应用 例1. 求圆柱螺旋线 ᵱ = ᵰ 2 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 − ᵄᵆ ᵄᵆ − ᵅᵆ + ᵰ 2 ᵅ 2 即 = 0 即 解: 由于 ᵆ ′ = ᵅ , 对应的切向量为 + ᵅ (ᵆ − ᵰ 2 ᵅ ) = 0  在 ᵄ = ( − ᵄ , 0, ᵅ ) , 故 ᵄ 0 (0, ᵄ ,  ᵰ 2 ᵅ ) ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ

多元函数微分法及其应用 2.曲线为一般式的情况 光滑曲 r F(x,y,Z)=0 G(x,y,z)=0 新码+0时「可表苏为化= 当=a0y2 ,且有 dy 1∂(F,G) dz 10(F,G) dx Ia(z,x)' 'dx Ia(x,y) 曲线上一点M(Xy子) 处的切向量为 T={1,'(xo),'(xo)} =9w9

多元函数微分法及其应用 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 曲线上一点 ᵄ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) ᵆ ᵆ ᵆ , 且有 处的切向量为

多元函教微分法及其应用 T- (F,G) (F,G) a(F,G) a(y,z) M’a(乙，x) IM a(x,y) M(Xvo) Z-Zo 切线方程 X-X0 y-yo a(F,G) a(F,G) a(F,G) a(y,z) M a(z,x) M a(x,y) M 法平面方程 8-心 M(y-y) a(F,G) ∂(x,y) M(2-2,)=0

多元函数微分法及其应用 ᵄ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 切线方程 法平面方程 (ᵆ − ᵆ 0 ) (ᵆ − ᵆ 0 ) (ᵆ − ᵆ 0 )  = 0 或

多元函数微分法及其应用 法平面方程 a(F,G) M(x-xo)+ (F,G) a(y,z) （亿，x) M(y-yo) a(F,G) (x,y) + M2-z) 也可表为 =0 x-Xo y-yo Z-Zo Fx(M) E,(M) F(M) Gx(M) Gy(M) Gz(M) =0

多元函数微分法及其应用 也可表为 法平面方程

多元函教微分法及其应用 2 2 例2.求曲线X+y+之=6，X+y+z=0 在点 M(1,-2,1)处的切线方程与法平面方程 解法1令F=x2+y+z-6,G=X+y+z, 则 8m=29引w=2w-9w-6 . 切向量 7=(-6,0,6) 切线方程 。2-。即42200 -

多元函数微分法及其应用 例2. 求曲线 ᵆ 2 + ᵆ 2 + ᵆ 2 = 6, ᵆ + ᵆ + ᵆ = 0 在点 切线方程 解法1 令ᵃ = ᵆ 2 + ᵆ 2 + ᵆ 2 − 6,  ᵃ = ᵆ + ᵆ + ᵆ , 则 即 切向量 = − 6; ᵆ ᵆ ᵆ ᵄ =(− 6, 0, 6)